(Para minimizar MP+PN, dibuje el punto de simetría M' de M alrededor de OA y conecte NM' con OA en P. En este momento, NM'=M'P+NP=MP+NP es el mínimo)
Comencemos a demostrar MP+PN=MQ+QN.
Hagamos M', el punto de simetría de M con respecto a OA, y de manera similar hagamos N', conectemos OM, OM', ON, ON', conecta M'N con OA con P, MN' con OB con Q.
∵∠MOA=∠NOB, ∴∠MOM'=NON', ∴∠ M'ON=N'OM, y ON=ON',OM=OM'
∴△OM'N≌△OMN',∴M'N=MN' ,∴MP+PN=MQ+ P.N.