Entre los tres elementos de una función, cómo encontrar el rango de valores de una función es un dolor de cabeza para los estudiantes. Implica una amplia gama de conocimientos y métodos flexibles. A menudo aparece en el examen de ingreso a la universidad. Ocupa una cierta cantidad de tiempo, si el método se usa adecuadamente, puede simplificar el proceso de cálculo, evitar la complejidad y obtener el doble de resultado con la mitad del esfuerzo. Este artículo resume los métodos para encontrar el dominio del valor de la función de la siguiente manera. /p>
1. Método de observación directa
Para algunas funciones relativamente simples, el rango de valores se puede obtener mediante observación.
Ejemplo 1 Encuentre el rango de valores de la función y =3-.
Solución: 0 - 0 3 - 3
Entonces el rango de valores de la función es:
2.
El método de combinación es uno de los métodos más básicos para encontrar el rango de valores de una función cuadrática.
Ejemplo 2, encuentre el rango de valores de la función y=-2x+5,x.
Solución: Formule la función para obtener: y=(x-1)+4,x. Se puede ver en las propiedades de la función cuadrática:
Cuando x=1, y =4
Cuando x=-1, y=8
Entonces la función El rango de valores es:
3, método discriminante
Ejemplo 3 Encuentra el rango de valores de la función y=.
Solución: La función original se transforma en una unidad alrededor de x Ecuación cuadrática (y-1)-x+(y-1)=0
(1) Cuando y≠1, xR, △=(-1)-4(y-1)(y -1) 0
La solución es: y
(2) Cuando y=1, x=0 y en 1, no se puede garantizar que la ecuación (1) tenga raíces reales, el rango calculado a partir de △0 puede ser mayor que el rango real de y, por lo que El rango de valores de esta función no se puede determinar, es decir, cuando =, el rango de valores de la función original es: [0,1+].
Nota: cuando se utiliza el método discriminante para determinar el rango de valores de una función, si el dominio de la función original no es un conjunto de números reales, se debe sintetizar el dominio de la función y eliminar la parte expandida.
Método de la función inversa
Cuando es difícil encontrar directamente el rango de valores de una función, puede determinar el rango de valores de la función original encontrando el dominio de la función original.
Ejemplo 5 Encuentre el rango de valores de la función y=.
Solución: De la fórmula funcional original: x=
Entonces su función inversa es: y=
El dominio de definición es: x≠
Entonces el rango de valores de la función que se busca es: (-∞,)
5, método de acotación de la función
Cuando es difícil encontrar el rango de valores de la función, puede usar Habiendo aprendido la acotación de una función, podemos determinar el rango de valores de la función invirtiendo el objeto al sujeto.
Ejemplo 6: encontrar el rango de valores de la función y=.
Solución: De la fórmula funcional original, podemos obtener: =
>0,>0
La solución es: - 1 7. Método de sustitución
Transformar una función en una función simple mediante sustitución simple La característica del tipo de pregunta es que la expresión analítica de la función contiene una fórmula radical o un modelo de fórmula de función trigonométrica. El método es uno de los métodos más importantes en matemáticas y también desempeña un papel en encontrar el rango de valores de una función.
Ejemplo 9 Encuentra el rango de valores de la función y=x+.
Solución: Sea x-1=t, (t0) entonces x=+1
∵y=+t+1=+ y t0, se puede conocer a partir de las propiedades de la cuadrática función
Cuando t=0, y=1, cuando t→0, y→+∞.
Entonces el valor de la función El dominio es [1,+∞)
8 Método de combinación de números y formas
El tipo de pregunta es una expresión analítica de función con un significado geométrico obvio, como la fórmula de la distancia entre dos puntos y la pendiente de una línea recta. Espera, si Si utilizas el método de combinar números y formas para este tipo de preguntas, muchas veces será más simple, más claro y más agradable a la vista.
Ejemplo 10 Encuentra el rango de valores de la función y=+.
Solución: Original La función se puede simplificar a: y=∣x-2∣+∣x+8∣
La fórmula anterior se puede considerar como el punto P(x) en el eje numérico a los puntos fijos A(2), B(-8) La suma de las distancias entre ellos.
Como se puede ver en la figura anterior: cuando el punto P está en el segmento de línea AB,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
Cuando el punto P está en la extensión o extensión inversa del segmento AB,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB ∣=10
Entonces el rango de valores de la función buscada es: [10,+∞]
Ejemplo 11 Encuentre el rango de valores de la función y=+
Solución: La función original se puede transformar en:
y=+
La fórmula anterior se puede considerar como la suma de las distancias desde el punto P(x,0) en el eje x hasta dos puntos fijos A(3,2) y B(-2). ,-1),
Se puede ver en la figura que cuando el punto P es la intersección del segmento de línea y el eje x, y=∣AB∣==,
Entonces el rango de valores de la función buscada es [,+∞].
Ejemplo 12 Encuentra el rango de valores de la función y=-
Solución: Transformar la función en: y =-
La fórmula anterior se puede considerar como un punto fijo A(3,2) La diferencia entre la distancia al punto P(x,0) y la distancia desde el punto fijo B(-2,1 ) al punto P(x,0). Es decir: y=∣AP∣-∣BP∣
Se puede ver en la figura: (1) Cuando el punto P está en el eje x y no es la intersección de la línea recta AB y el eje x, como el punto P, entonces se forma △ABP De acuerdo con la diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado,
Existe. es∣∣AP ∣-∣BP ∣∣<∣AB∣==
Es decir:-(2) Cuando el punto P resulta ser la intersección de la recta AB y el eje x, hay ∣∣ AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= .
En resumen, se puede ver que el rango de valores de la función es: (-,-). y en el Ejemplo 12, podemos encontrar dos Al calcular la suma de distancias, la fórmula funcional debe deformarse de modo que los dos puntos A y B estén a ambos lados del eje x Al calcular la diferencia entre las dos distancias, los dos. los puntos A y B deben estar en el mismo lado del eje x.
Por ejemplo: las coordenadas de los dos puntos A y B en el Ejemplo 17 son: (3,2), (-2, -1), que están en el mismo lado del eje x;
A en el Ejemplo 18, las coordenadas de los dos puntos B son: (3,2), (2,-1), en el mismo lado del eje x.
En resumen, al encontrar específicamente el rango de valores de una función, primero debe observar cuidadosamente las características del tipo de pregunta y luego elegir el método apropiado en general. , se da prioridad al método directo y al método de monotonicidad de la función, y luego se consideran otros métodos especiales.