Preguntas y respuestas del examen de ingreso a la escuela secundaria "Triángulos similares"
1 Preguntas de opción múltiple
(1) En △ABC, D, E y. F están en AB respectivamente, puntos AC, BC, DE∥BC, EF∥AB, entonces las siguientes fórmulas son correctas ( )
A.= B.= C.= D.=
(2) En △ABC, BC=5, CA=45, AB=46, el lado más corto de otro triángulo semejante es 15, entonces el lado más largo es ( )
A. 135 D. Incierto
(3) En △ABC, AB=AC, ∠A=36°, y la bisectriz de ∠ABC corta a AC en D, entonces entre los tres triángulos formados, Semejante es ( )
A.△ABD∽△BCD B.△ABC∽△BDC
C.△ABC∽△ABD D. No existe
(4) Divide la altura del triángulo en cuatro partes iguales, dibuja una línea paralela a la base a través de cada punto divisorio y divide el triángulo en cuatro partes, luego la razón de las áreas de las cuatro partes es ( )
A .1:3:5:7 B.1:2:3:4 C.1:2:4:5 D.1:2:3:5
(5) Entre los siguientes proposiciones, ¿cuál es verdadera? La proposición es ( )
A Dos triángulos isósceles con un ángulo de 30° son semejantes B. Dos paralelogramos con la proporción de lados adyacentes igual a 2 son semejantes
C. Dos trapecios isósceles con un ángulo de base de 40° son semejantes D. Dos triángulos isósceles con un ángulo de 120° son semejantes
(6) En el trapezoide rectángulo ABCD, AD es la base superior, ∠D= Rt∠, AC⊥AB, AD=4, BC=9, entonces AC es igual a ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
(7) Sabiendo ya que CD es la línea media de la hipotenusa de Rt△ABC, y E y F son los puntos medios de AC y BC respectivamente, la relación entre CD y EF es ( )
A.EF>CD B.EF=CD C. EF (8) Las siguientes proposiciones ① Los triángulos semejantes no deben ser triángulos congruentes ② La proporción de las líneas medias correspondientes de triángulos similares es igual a la razón de las bisectrices de los ángulos correspondientes; ③ El número de lados es el mismo y los ángulos correspondientes son iguales. Los dos polígonos son similares ④O es cualquier punto en △ABC. y OC están conectados para formar un triángulo △A′B′C′∽△ABC. El número correcto es ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (9) D es un punto en el lado AB de △ABC , si △ACD ∽△ABC, se deben cumplir las siguientes tres posibilidades: ①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC2=AB·AD, el número correcto es ( ) A .0 B.1 C .2 D.3 (10) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? ( ) A. Si un ángulo de un rombo es igual a otro ángulo de un rombo, entonces. son similares B. Si la razón de dos lados adyacentes de un rectángulo es igual a la razón de dos lados adyacentes de otro rectángulo, entonces son similares C. dos paralelogramos son similares, entonces la razón de sus alturas correspondientes es igual a la razón de similitud D Dos polígonos con ángulos iguales y lados proporcionales son similares 2. p> (1) La propiedad básica de la proporción es ________________________________________ (2) Si el segmento de línea a=75px, b=300px, el término c=________ en el relación de a y b, a, b, El cuarto segmento de recta proporcional de c es d=________ (3) Como se muestra a continuación, EF∥BC, si AE:EB=2:1, EM= 1, MF=2, entonces AM:AN=________, BN∶NC=________ (4) Hay dos mapas A y B con la misma trama triangular, y las escalas son 1:200 y 1 :500 respectivamente Entonces la razón de similitud del mapa A y el mapa B es ________, y el área La razón es _________ (5) Si la razón de las áreas de dos triángulos similares es 1:2, entonces. la razón de las alturas de sus lados correspondientes es _________ (6) Se sabe que CD es la altura de la hipotenusa AB de Rt△ABC, entonces CD2=________ ( 7) Cambie un triángulo a un triángulo similar a él. Si la longitud del lado se expande a 10 veces el original, entonces el área se expande a ____ veces del original y el perímetro se expande a ______ veces del original. p> (8) En Rt△ABC, ∠C=90°, CD es la altura sobre la hipotenusa. Si AC∶AB=4∶9, entonces AD∶BD=________ (9) Divide el segmento de línea de 1550px en tres partes. Su proporción es 3:2:5, entonces el segmento más largo es ________ <. /p> (10) Si D es el punto medio del lado BC de △ABC, E es el punto medio de AD y BE cruza a AC en F, entonces AF:FC=________ 3. Se sabe que en el paralelogramo ABCD, AE:EB=1:2, encuentre la relación de perímetro de △AEF y △CDF. Si S△AEF=150px2, encuentre S△CDF. Como se muestra en la siguiente figura, se sabe que en △ABC, AD biseca a ∠BAC, EM es la perpendicular de AD y corta la línea de extensión de BC en E. Verifique: DE2=BE·CE. 5. Se sabe que en la figura, en En el paralelogramo ABCD, DE=BF, demuestra: =. 6 Traza una línea recta que pase por el vértice C de △ABC, cortando al lado AB. y la línea media AD en los puntos F y E respectivamente, demuestra: AE ∶ED=2AF∥FB 7 Si las diagonales del cuadrilátero ABCD se cortan en O, traza una recta OG∥AB que pase por O. , cruza BC en E, cruza AD en F y cruza la línea de extensión de CD en G, verifique: OG2 = GE·GF. 8. y E son los puntos de trisección de BC respectivamente, CM es la línea media en AB y CM cruza a AE respectivamente, AD está en F y G, entonces CF:FG:GM=5:3:2 . 9. Como se muestra en la siguiente figura, en △ABC, AD∥BC conecta CD con AB en E, y AE:EB =1:3, cruza E y dibuja EF∥BC, cruza AC en F, S△ADE=50px2 , encuentre S△BCE, S△AEF. 10 Conocido: segmento de línea AB, punto C Divida AB en dos grupos de 3:11 Divida AB en dos segmentos de 5:9 en el punto D. y CD=100px Encuentra la longitud de AB. 11 En la siguiente figura, E es el paralelogramo ABCD En un punto de la diagonal AC, AE:EC=1:3, la línea de extensión de. BE intersecta la línea de extensión de CD en G e intersecta a AD en F. Demuestre: BF:FG=1:2. Respuestas de referencia Uno..(1)C ( 2)A (3)B (4)A (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10) )D II. ) 6, 24 (3) 2:3, 1:2 (4) 5:2; 25:4 (5):2 (6)AD ·BD (7)100, 10 (8)16∶65 (9) 31 (10)1:2 Tres.1:3, S△CDF=1350px2 Cuatro consejos: conecte AE, luego AE=DE, demuestre △AEC∽△BEA. 5. Descripción general 6. Descripción general 7. Consejos: Después del punto E, haga EH∥BD y cruce CD con H, conecte HO, de = obtenemos HO∥AD, luego =, de OD∥EH, obtenemos =, que se puede demostrar 8 Omisión 9 Consejos: Conexión MD, demuestra que F es el punto medio de MC, MD=. 2EF, AE=2MD, ∴CF∶GF∶GM=5:3:2 10. S△BCE=450px2 S△AEF=37.5px2 282px Once estrategias. 12. 2 La pregunta final del examen de ingreso a la escuela secundaria de Matemáticas de 2012: Problemas de triángulos similares con funciones (3) Ejemplo 5 Como se muestra en la Figura 1, la parábola pasa por el punto A (4, 0), B(1,0), C(0,-2) tres puntos. (1) Encuentre la fórmula analítica de esta parábola; (2) P es un punto móvil en la parábola. El eje PM⊥x pasa por P y el pie vertical. es M. ¿Existe un punto P tal que el triángulo con A, P, M como vértices sea similar a △OAC? Si existe, encuentre las coordenadas del punto P que cumple las condiciones; si no existe, explique el motivo (3) La parábola sobre la línea recta AC tiene un punto D, de modo que el área de △DCA sea la más grande. Encuentre las coordenadas del punto de salida D. , Figura 1 Experiencia dinámica Abra el nombre de archivo del bloc de dibujo geométrico "09 Linyi 26", arrastre el punto P Al moverse en una parábola, puede experimentar que la forma de △PAM está cambiando. Haga doble clic en los botones "P a la izquierda de B", "P sobre el eje x" y "P a la derecha de A" para. Demuestre que △PAM es similar a △OAC en tres escenarios. Haga doble clic en el botón "Pregunta (3)", arrastre el punto D para moverse en la parábola sobre el eje x y observe la imagen de la forma y el área de △DCA cambiando con D Puedes experimentar que E es el punto medio de AC, el área de △DCA es la más grande. Inspiración 1. Se sabe que se utilizan los dos puntos de intersección de la parábola y el eje x. Cuando se utiliza el método de coeficiente indeterminado para encontrar la fórmula analítica, es relativamente sencillo establecer la fórmula del punto de intersección. 2. Combinando números y formas, use expresiones analíticas para expresar las coordenadas de puntos en la imagen y use las coordenadas de puntos para expresar la longitud de los segmentos de línea. 3． Según la proporción de los dos lados rectángulos, las ecuaciones se dividen en dos situaciones. 4. △DCA se puede dividir en dos triángulos con la base más baja y la suma de las alturas es igual a OA. Respuesta con puntuación máxima (1) Debido a que la parábola se cruza con el eje x en dos puntos A(4,0) y B(1,0), suponiendo la fórmula analítica de la parábola es, sustituir Las coordenadas del punto C (0, -2) están resueltas. Entonces la fórmula analítica de la parábola es. (2) Sean las coordenadas del punto P. ①Como se muestra en la Figura 2, cuando el punto P está por encima del eje x, 1 Si, entonces. La solución no se adapta al propósito de la pregunta. Si, entonces. Solución. En este momento, las coordenadas del punto P son (2, 1). ②Como se muestra en la Figura 3, cuando el punto P está en el lado derecho del punto A, x>4,. Resolviendo la ecuación, obtenemos. En este momento, las coordenadas del punto P son. Al resolver una ecuación, el resultado no está acorde con el problema. ③Como se muestra en la Figura 4, cuando el punto P está a la izquierda del punto B, x<1,. Resolviendo la ecuación, obtenemos. En este momento, las coordenadas del punto P son. Resolviendo la ecuación, obtenemos. En este momento, el punto P y el punto O coinciden, lo que es inconsistente con el significado de la pregunta. Resumiendo, las coordenadas del punto P que cumplen las condiciones son (2, 1) o. Figura 2 Figura 3 Figura 4 (3) Como se muestra en la Figura 5, la perpendicular al eje x que pasa por el punto D corta a AC en E. La fórmula analítica de la recta AC es. Supongamos que la abscisa del punto D es m, entonces las coordenadas del punto D lo son y las coordenadas del punto E lo son. entonces. Por tanto. En ese momento, el área de △DCA es la más grande y las coordenadas del punto D en este momento son (2, 1). Figura 5 Figura 6 Estiramiento de los puntos de prueba La pregunta (3) también se puede resolver así: Como se muestra en Figura 6, pase los puntos D para construir el rectángulo OAMN, luego el área de △DCA es igual al área del trapecio rectángulo CAMN menos las áreas de △CDN y △ADM. Supongamos que la abscisa del punto D es (m, n), entonces . Porque, así es. Ejemplo 6 Como se muestra en la Figura 1, en △ABC, AB=5, AC=3, cosA=. D es un punto en el rayo BA (el punto D no coincide con el punto B), dibuje DE//BC que interseque al rayo CA en el punto E. (1) Si CE=x, BD=y, encuentre la relación funcional entre y y x, y escriba el dominio de la función (2) Cuando use segmentos de línea; respectivamente Cuando dos círculos con diámetros BD y CE son tangentes, encuentre la longitud de DE; (3) Cuando el punto D está en el lado AB, ¿hay un punto F en el lado BC tal que △ABC? y △DEF parecido? Si existe, solicite la longitud del segmento de línea BF; si no existe, explique el motivo. Figura 1 Imagen alternativa Imagen alternativa Experiencia dinámica Abra el nombre de archivo del bloc de dibujo geométrico "09 Zhabei 25" y arrastre el punto D al rayo BA sports. Haga doble clic en el botón "Pregunta (2)" y arrastre el punto D para experimentar que los dos círculos se pueden circunscribir una vez e inscribir dos veces. Haga doble clic en el botón "Pregunta (3)" y luego haga doble clic en los botones "DE es cintura" y "DE es base" respectivamente. Puede experimentar que △DEF es un triángulo isósceles. Ideas 1. Primero interprete la imagen de fondo. △ABC es un triángulo isósceles, luego △DEF que cumple las condiciones en la pregunta (3) también es un triángulo isósceles. 2． Expresar BD, DE y MN con expresiones que contienen 3. Al resolver el problema de tangencia entre dos círculos, primero enumere los tres elementos, luego enumere las ecuaciones y finalmente verifique si la posición de la solución de la ecuación es consistente con el significado de la pregunta. 4. La pregunta (3) se clasifica y analiza de acuerdo con las dos situaciones en las que DE es la cintura y la parte inferior. Utilizar las conclusiones de las preguntas típicas puede ayudarnos a resolver el problema fácilmente. Solución de puntuación completa (1) Como se muestra en la Figura 2, dibuje BH⊥AC y el pie vertical es el punto H. En Rt△ABH, AB=5, cosA=, entonces AH==AC. Por lo tanto, BH divide a AC perpendicularmente, △ABC es un triángulo isósceles, AB=CB=5. Porque DE//BC, por tanto, así es. Entonces obtenemos, (). (2) Como se muestra en la Figura 3 y la Figura 4, porque DE//BC, entonces, es decir. Por lo tanto, la distancia al centro del círculo. Figura 2 Figura 3 Figura 4 En ⊙M,, en ⊙N,. ①Cuando se circunscriben dos círculos,． La solución es tal vez. Como se muestra en la Figura 5, la solución que se ajusta al significado de la pregunta es, en este momento. ②Cuando se inscriben dos círculos,． Cuando x<6, la solución es como se muestra en la Figura 6. En este momento, E está en la línea de extensión de CA; Cuando x>6, la solución es como Como se muestra en la Figura 7, en este momento E está en la línea de extensión de CA. Figura 5 Figura 6 Figura 7 (3) Debido a que △ABC es un triángulo isósceles, cuando △ABC es similar a △DEF, △DEF también es un triángulo isósceles. Como se muestra en la Figura 8, cuando D, E y F son los puntos medios de los tres lados de △ABC, DE es la cintura del triángulo isósceles DEF, lo cual es consistente con el significado de la pregunta. En este momento, BF=2,5. Según la simetría, cuando F está en el pie vertical de la altura en el lado de BC, también es coherente con el significado de la pregunta. En este momento, BF = 4,1. Como se muestra en la Figura 9, cuando DE es la base del triángulo isósceles DEF, el cuadrilátero DECF es un paralelogramo. Figura 8 Figura 9 Figura 10 Figura 11 Extensión de los puntos de prueba El escenario de la pregunta (3) es una pregunta típica, como se muestra en la Figura 10 , como se muestra en la Figura 10 11. AH es la altura de △ABC y D, E y F son los puntos medios de los tres lados de △ABC Entonces el cuadrilátero DEHF es un trapezoide isósceles. Ejemplo 7 Como se muestra en la Figura 1, en el sistema de coordenadas rectangular xOy, establezca el punto A (0, t) y el punto Q (t, b). Al trasladar la gráfica de la función cuadrática, la parábola F obtenida satisface dos condiciones: ① El vértice es Q ② Interseca el eje x en dos puntos B y C (∣OB∣lt;∣OC∣), conectando A y B. (1) ¿Existe tal parábola F tal que? Por favor haga su juicio y explique las razones; (2) Si AQ∥BC y tan∠ABO=, encuentre la fórmula analítica de la función cuadrática correspondiente a la parábola F. Figura 1 Experiencia dinámica Abra el nombre de archivo del bloc de dibujo geométrico "08 Hangzhou 24", arrastre el punto A para moverse en el eje y, puede experimentar, AQ y BC permanecen paralelos, OA:OB y OA:OB′ permanecen 3:2. Haga doble clic en el botón "t=3", "t=0.6", "t=-0.6", "t=-3", la parábola justo pasa por el punto B (o B′) . Ideas 1. Combinando números y formas con pensamientos, transfórmalos en. 2． Si AQ∥BC, entonces el rectángulo con OA y AQ como lados adyacentes es un cuadrado, y la combinación de números y formas produce t=b. 3. Clasifique y analice tan∠ABO=, que se divide en cuatro situaciones según la relación posicional de A, B y C. Cuando A está en el semieje positivo del eje y, se puede dividir en dos situaciones: B y C están en el mismo lado del eje y o en ambos lados cuando A está en el semieje negativo; del eje y, se puede dividir en dos situaciones: B y C están en el mismo lado del eje y o en ambos lados. Respuesta completa (1) Debido a que el vértice de la parábola obtenido de la imagen traducida es (t, b), la fórmula analítica correspondiente de la parábola es. Porque la parábola tiene dos puntos de intersección con el eje x, por lo tanto. Ordena, recibe. Entonces)( )| Ahora mismo. Entonces en ese momento había una parábola tal. (2) Debido a que AQ//BC, entonces t=b, entonces la parábola F es. Solución. ①En ese momento, de, consiguió. Como se muestra en la Figura 2, en ese momento, se resolvió mediante . En este momento, la fórmula analítica de la función cuadrática es. Como se muestra en la Figura 3, en ese momento, se resolvió mediante . En este momento, la fórmula analítica de la función cuadrática es ++. Figura 2 Figura 3 ②Como se muestra en la Figura 4 y la Figura 5, en ese momento, al sustituir , podemos obtener. En este momento, la fórmula analítica de la función cuadrática es +- o. Figura 4 Figura 5 Extensión de los puntos de prueba La pregunta (2) también se puede clasificar y discutir así: Porque AQ//BC , entonces t=b, entonces la parábola F es. De, obtener. ① Sustituyendo , obtenemos (Figura 2, Figura 5). ② Sustituye y obtiene (Figura 3, Figura 4).