〖Definición de Círculo〗
Teoría de la geometría: La figura compuesta por todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es igual a la longitud fija se llama círculo. El punto fijo se llama centro del círculo y la longitud fija se llama radio.
Teoría de la trayectoria: La trayectoria de un punto en movimiento en un plano con un cierto punto como centro y una cierta longitud como distancia se llama círculo, o círculo para abreviar.
Teoría de conjuntos: El conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es igual a una longitud fija se denomina círculo.
〖Cantidades relacionadas de círculos〗
Pi: La relación entre la longitud de un círculo y el diámetro de un círculo se llama pi El valor es 3,14159265358979323846..., generalmente representado. por π En los cálculos, a menudo se utiliza 3,14 como valor aproximado de (pero los números de la Olimpiada suelen tomar 3 o 3,1416).
Cuerda de arco: La parte entre dos puntos cualesquiera del círculo se llama arco, o arco para abreviar. Los arcos que son más grandes que un semicírculo se llaman arcos mayores y los arcos que son más pequeños que un semicírculo se llaman arcos menores. El segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia se llama cuerda. La cuerda que pasa por el centro del círculo se llama diámetro.
Ángulo central y ángulo circunferencial: El ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo se llama ángulo central. Un ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y cuyos dos lados tienen otra intersección con el círculo se llama ángulo circunferencial.
Incentro y circuncentro: La circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo se llama circunferencia circunstante del triángulo, y su centro se llama circuncentro del triángulo. La circunferencia que es tangente a los tres lados de un triángulo se llama circunferencia del triángulo y su centro se llama circunferencia.
Sector: En un círculo, se llama sector a una figura rodeada por dos radios y un arco. La vista lateral de un cono tiene forma de abanico. El radio de este sector se convierte en la generatriz del cono.
〖Método de representación de letras de cantidades relacionadas con círculos y círculos〗
Círculo—⊙ radio—r arco—⌒ diámetro—d
Longitud del arco del sector/generatriz del cono —l Perímetro—C Área—S
〖Relación posicional entre un círculo y otras figuras〗
Relación posicional entre un círculo y un punto: tome el punto P y el círculo O como ejemplo (supongamos que P es un punto, entonces PO es la distancia desde el punto al centro del círculo), P está fuera de ⊙O, PO>r; P está en ⊙O, P está dentro de ⊙O, PO; Existen tres relaciones posicionales entre una recta y un círculo: si no hay un punto común, están separados; si hay dos puntos comunes, se cortan si un círculo y una recta tienen un; único punto común, son tangentes, esta recta se llama tangente al círculo, y este único punto común se llama punto tangente. Tome la línea recta AB y el círculo O como ejemplo (asumiendo que OP⊥AB está en P, entonces PO es la distancia desde AB al centro del círculo): AB está separado de ⊙O, PO>r es tangente a ⊙; O, PO=r; AB y ⊙O se cruzan, PO Existen 5 tipos de relaciones posicionales entre dos círculos: si no hay un punto común, un círculo está fuera del otro y se llama interior; si hay un único punto común, se llama exterior y; interior si un círculo es un punto, se llama circunsección por fuera del otro círculo, y se llama incisión si es por dentro si hay dos puntos comunes, se llama intersección; La distancia entre los centros de dos círculos se llama distancia entre centros. Los radios de los dos círculos son R y r respectivamente, y R≥r, y la distancia entre los centros de los círculos es P: distancia externa P>R r; circunscrita P=R r; intersección R-r 〖Propiedades y teoremas básicos sobre la circunferencia〗 Determinación de una circunferencia: Tres puntos que no están en la misma recta determinan una circunferencia. Propiedades simétricas de un círculo: Un círculo es una figura axialmente simétrica, y su eje de simetría es cualquier recta que pasa por el centro del círculo. Un círculo también es una figura centralmente simétrica, y su centro de simetría es el centro del círculo. Teorema del diámetro perpendicular: El diámetro perpendicular a una cuerda biseca la cuerda y biseca el arco subtendido por la cuerda. Teorema inverso: el diámetro que biseca la cuerda (no el diámetro) es perpendicular a la cuerda y biseca el arco subtendido por la cuerda. 〖Propiedades y teoremas sobre ángulos circunferenciales y ángulos centrales〗 En círculos congruentes o círculos iguales, si dos ángulos centrales, dos ángulos circunferenciales, dos arcos, dos si un grupo de cantidades en la cadena es igual, entonces los otros grupos de cantidades correspondientes a ellos serán iguales. El ángulo circunferencial subtendido por un arco es igual a la mitad del ángulo central subtendido por el mismo. El ángulo circunferencial subtendido por el diámetro es un ángulo recto. La cuerda subtendida por un ángulo circunferencial de 90 grados es el diámetro. 〖Propiedades y teoremas sobre círculos circunscritos y círculos inscritos〗 Un triángulo tiene círculos circunscritos y círculos inscritos únicos. El centro del círculo circunscrito es el punto de intersección de las mediatrices de cada lado del triángulo, y equidista de los tres vértices del triángulo; el centro del círculo inscrito es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores de; el triángulo, y es equidistante de los tres lados del triángulo. 〖Propiedades y teoremas sobre las tangentes〗 La recta tangente de un círculo es perpendicular al diámetro que pasa por el punto tangente a la recta que pasa por un extremo del diámetro y es perpendicular; a este diámetro es el círculo tangente. Teorema de determinación de la recta tangente: Una recta que pasa por el extremo exterior de un radio y es perpendicular a este radio es tangente a una circunferencia. Propiedades de las rectas tangentes: (1) La recta que pasa por el punto tangente y es perpendicular a este radio es la tangente a la circunferencia. (2) Una línea recta que pasa por el punto tangente y es perpendicular a la línea tangente debe pasar por el centro del círculo. (3) La recta tangente de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto tangente. Teorema de la longitud de las rectas tangentes: Las longitudes de dos rectas tangentes desde un punto fuera de un círculo a un círculo son iguales. 〖Fórmulas de cálculo relacionadas con círculos〗 1. La circunferencia del círculo C=2πr=πd 2. El área del círculo S=πr^2; La longitud del arco del sector l= nπr/180 4. Área del sector S=nπr^2;/360=rl/2 5. Área lateral del cono S=πrl Analítico propiedades geométricas y teoremas de círculos 〖Ecuación geométrica analítica de un círculo〗 Ecuación estándar de un círculo: En el sistema de coordenadas cartesiano plano, la ecuación estándar de un círculo con punto O (a, b) como centro y r como radio. La ecuación es (x-a)^2 (y-b)^2=r^2. Ecuación general de un círculo: expanda la ecuación estándar de un círculo, mueva términos y combine términos similares, y podrá obtener la ecuación general de un círculo como x^2 y^2 Dx Ey F= 0. En comparación con la ecuación estándar, de hecho, D=-2a, E=-2b, F=a^2 b^2. La excentricidad del círculo es e=0, y el radio de curvatura en cualquier punto del círculo es r. 〖Juicio de la relación posicional entre un círculo y una línea recta〗 En el plano, la relación posicional entre la línea recta Ax By C=0 y el círculo x^2 y^2 Dx Ey F=0 generalmente se juzga. El método es: 1. De Ax Por C=0, podemos obtener y=(-C-Ax)/B, (donde B es. no es igual a 0), sustituye x^2 y^2 Dx Ey F =0, lo que se convierte en una ecuación cuadrática f(x)=0 sobre x. La relación posicional entre el círculo y la línea recta se puede determinar usando el signo del discriminante b^2-4ac de la siguiente manera: Si b^2-4acgt;0, entonces el círculo y la recta La recta tiene 2 puntos de intersección, es decir, el círculo y la recta se cruzan. Si b^2-4ac=0, entonces el círculo y la recta tienen 1 punto de intersección, es decir, el círculo y la recta son tangentes. Si b^2-4aclt; 0, entonces el círculo y la línea recta tienen 0 puntos de intersección, es decir, el círculo y la línea recta están separados. 2.Si B=0, la recta es Ax C=0, es decir, x=-C/A, que es paralela al eje y (o perpendicular al eje x) , entonces x^2 y^2 Dx Ey F=0 se convierte en (x-a)^2 (y-b)^2=r^2. Sea y = b, encuentre los dos valores de x x1 y x2 en este momento y especifique x1lt, luego: Cuando x=-C/Alt; ; Cuando x2, la recta y el círculo están separados; Cuando x1lt; cuando x2, la recta y el círculo se cruzan; Radio r; , diámetro d En el sistema de coordenadas cartesiano, la fórmula analítica de un círculo es: (x-a)^2 (y-b)^2=r^2 x^2 y^ 2 Dx Ey F=0 =gt; (x D/2)^2 (y E/2)^2=D^2/4 E^2/4-F =gt; Las coordenadas del centro del círculo son ( -D/2, -E/2) De hecho, no es demasiado problemático calcular así Siempre que los coeficientes de los cuadrados X e Y sean todos 1 Eso es todo. Puedes determinar directamente que las coordenadas del centro del círculo son (-D/2, -E/2)