Los ux y uy que escribiste deben ser las derivadas parciales de u con respecto a x e y, es decir, u'x y u'y. Sea U=u'x, V=-u'y, entonces
U'x=u''xx, V'y=-u''yy, U'y=u''xy, V'x=-u''yx. La definición de función armónica es una función binaria que tiene derivadas parciales continuas de segundo orden y satisface la ecuación de Laplace. De acuerdo con u que satisface la ecuación de Laplace u''xx+u''yy=0, sabemos que U'x=V'y, y luego, de acuerdo con que la derivada parcial de segundo orden de u es continua, sabemos que las dos parciales mixtas las derivadas son iguales u''xy= u''yx, es decir, U'y=-V'x, por lo que f(z) satisface la ecuación de Cauchy-Riemann, que es analítica en D.