Solución: La forma matricial de las ecuaciones lineales conocidas es:
$$\begin{bmatrix}1&1&1&-3\2&1&0&-5\3&2&1&-8\end{bmatrix}\ start{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\4\7\end{bmatrix}$$
Realice la eliminación gaussiana en este sistema de ecuaciones, Se puede obtener la siguiente matriz elemental:
$$\begin{bmatrix}1&1&1&-3\0&-1&-1&2\0&0&2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3 \ x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\-2\-1\end{bmatrix}$$
Sea $x_3$ $\lambda$, de la tercera ecuación podemos obtener:
$$2x_3-x_4=-1 \Rightarrow x_4=-2x_3-1$$
Supongamos $x_4=-2x_3-1$, sustitúyalo en la segunda ecuación para obtener:
$$x_2=x_3+1$$
Entonces, un conjunto de soluciones especiales para las ecuaciones lineales es $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(3 ,4, 3,-7)$.
Por lo tanto, la solución general del sistema de ecuaciones lineales es:
$$\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}3\ 4\3\-7\end{bmatrix}+\lambda\begin{bmatrix}1\1\0\-2\end{bmatrix}$$
Es decir:
$$\begin{casos}x_1=3+\lambda\x_2=4+\lambda\x_3=3\x_4=-7-2\lambda\end{casos}$$
Sistema de ecuaciones lineales La solución general de se expresa mediante el sistema de solución básico del grupo derivado como:
$$x=\begin{bmatrix}3+\lambda\4+\lambda\3 \-7-2\lambda\end{bmatrix }$$
Se puede ver que $\lambda$ en la solución general es la variable independiente.