249
Fórmula:
Cuando 0 lt; n lt; gt; = 5, f(n!) = k f(k!), donde k = n / 5 (redondeado)
f(1000!) = 200 f(200!) = 200 40 f( 40!) = 240 8 f(8!) = 248 1 f(1) =249
Proceso detallado:
Descripción del problema
Dado un parámetro n (n es un número entero positivo), ¡calcule el factorial n de n! El número de "0" al final.
Por ejemplo, ¡5! = 120, el número de "0" contenidos al final es 10; = 3628800, el número de "0" contenidos al final es 20; = 2432902008176640000, el número de "0" contenidos al final es 4.
Fórmula de cálculo
La fórmula de cálculo se proporciona aquí primero y el proceso de derivación se proporciona más adelante.
Sea f(x) el número de "0" contenidos al final del entero positivo x, entonces:
Cuando 0 lt 5, f( n !) = 0;
Cuando n gt; = 5, f(n!) = k f(k!), donde k = n / 5 (redondeado).
Análisis del problema
Obviamente, para un número grande como el factorial, nos es imposible calcular el resultado y luego contar el número de "0" contenidos al final. Por tanto, hay que analizarlo desde sus características digitales. Comencemos el análisis desde la perspectiva de la factorización.
Consideremos primero la situación general. Para cualquier número entero positivo, si se factoriza, el "0" al final debe descomponerse en 2*5. Aquí cada "0" debe corresponder a un factor "5". Pero tenga en cuenta que en la factorización de un número, el factor "5" no necesariamente corresponde a un "0", porque se necesita un factor "2" para lograr una correspondencia uno a uno.
Volvamos a la pregunta original. Aquí hay primero una conclusión:
Conclusión 1: ¡Para el factorial n de n! , en su factorización, si existe un factor "5", entonces debe corresponder a n! Un "0" al final.
Esta conclusión se demuestra a continuación:
(1) Cuando n lt 5, la conclusión está obviamente establecida.
(2) Cuando n gt; = 5, sea n! = [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a, donde n = 5k r (0 lt; = r lt; = 4), a es un número entero sin el factor "5".
Para la secuencia 5k, 5(k-1), ..., 10, cada número 5i(1 lt; = i lt; = k) en 5 contiene el factor "5", y Allí son números pares en el intervalo (5(i-1), 5i)(1 lt; = i lt; = k), es decir, hay un factor "2" en a correspondiente a 5i. Es decir, los k factores aquí son "5" y n. Los k "0" al final corresponden uno a uno.
¡Vamos más allá! Expresado como: n! = 5^k * k! * a (Fórmula 1), donde 5^k representa 5 elevado a la k-ésima potencia. Es fácil de usar (1) y el método iterativo para llegar a la conclusión 1.
¡Lo anterior demuestra el factorial n de n! ¡El "0" y la n al final! El factor "5" en la factorización de tiene una correspondencia uno a uno.
Es decir, ¡calcule el factorial n de n! El número de "0" al final se puede convertir para calcular el número de "5" en su factorización.
Sea f(x) el número de "0" contenidos al final del entero positivo x, y g(x) represente el número de factores "5" en la factorización del entero positivo x, luego use La conclusión 1 anterior y la fórmula 1 son:
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k g(k!) = k f(k !)
Entonces, la fórmula de cálculo final es:
Cuando 0 lt n lt; > Cuándo Cuando n gt = 5, f(n!) = k f(k!), donde k = n / 5 (redondeado).
Ejemplo de cálculo
f(5!) = 1 f(1!) = 1
f(10!) = 2 f(2!) = 2
f(20!) = 4 f(4!) = 4
f(100!) = 20 f(20!) = 20 4 f(4!) = 24
f(1000!) = 200 f(200!) = 200 40 f(40!) = 240 8 f(8!) = 248 1 f(1) =249