Un historiador de las matemáticas describió una vez a Henri Poincaré, que nació en 1854: "Algunas personas parecen haber nacido para demostrar la existencia del genio. Cada vez que veo a Henri, creo que oiré esta molesta voz sonando en mis oídos: "La grandeza de Poincaré como matemático no reside enteramente en la cantidad de problemas que resolvió, sino en los muchos problemas innovadores y fundamentales que una vez planteó. La conjetura de Poincaré es una de ellas.
En 1904, Poincaré propuso una conjetura topológica aparentemente simple en un artículo: en un espacio tridimensional, si cada curva cerrada puede contraerse hasta un punto, entonces este espacio debe ser una esfera tridimensional.
Si crees que esta afirmación es demasiado abstracta, también podríamos hacer una imaginación como esta:
Imaginamos una casa así, y este espacio es una pelota. O imagina una enorme pelota de fútbol llena de aire. Entramos y miramos. Esta es una casa esférica.
También podríamos suponer que las paredes de esta casa esférica están hechas de acero y son muy fuertes. No hay ventanas ni puertas. Ahora estamos en una casa tan esférica. Ahora coge un globo y llévalo a la casa esférica. Cualquier globo servirá (de hecho, existen requisitos para este globo). Este globo no está desinflado, sino que se ha inflado hasta darle una forma determinada. Puede tener cualquier forma (existen ciertos requisitos para la forma). Pero podemos seguir inflando este globo y, suponiendo que la piel del globo sea particularmente fuerte, definitivamente no se abrirá. Supongamos también que la piel de este globo es infinitamente delgada.
Bien, ahora sigamos inflando este globo y sigamos inflandolo. ¿Qué pasará al final? El Sr. Poincaré supuso que al final del inflado, la superficie del globo debía estar firmemente adherida a la superficie de la pared de toda la casa esférica, sin ningún espacio entremedio.
¿No te parece fácil de entender? Pero las matemáticas no pueden probar una conjetura simplemente "pensando en ella". Esto requiere matemáticas rigurosas y razonamiento lógico. Durante un siglo, innumerables científicos se han devanado los sesos e incluso se han pasado la vida intentando demostrarlo, pero sin éxito. A principios de 2000, el Consejo Asesor Científico del Instituto Clay de Matemáticas de Estados Unidos incluyó la conjetura de Poincaré como uno de los siete "Problemas del Premio del Milenio". La junta directiva del Instituto Clay de Matemáticas decidió establecer un gran fondo de premios. de siete millones de dólares estadounidenses, con cada "Premio del Milenio" La solución al "Problema del Premio del Milenio" vale un millón de dólares. Los otros seis "Problemas del Premio del Milenio" son: problema NP-completo, Hodge, hipótesis de Riemann, teoría de Yang-Mills, ecuación de Navier-Stoko-Stokes), conjetura de BSD (Birch y Swinnerton-Dyer).
Después de proponer esta conjetura, Poincaré alguna vez pensó que la había demostrado. Pero no pasó mucho tiempo antes de que quedaran expuestos errores en la prueba. Entonces los topólogos comenzaron sus esfuerzos por demostrarlo.
Antes de la década de 1930, sólo había unos pocos estudios esporádicos sobre la conjetura de Poincaré. Pero de repente, el matemático británico Whitehead se interesó mucho en este problema. Una vez afirmó haber completado la prueba, pero pronto retiró el documento. Lo que perdió, se perdió, pero en el proceso descubrió algunos casos especiales interesantes de variedades tridimensionales, y estos casos especiales ahora se denominan colectivamente variedades de Whitehead. Desde los años 1930 hasta los años 1960, algunos matemáticos famosos afirmaron haber resuelto la conjetura de Poincaré, entre ellos los famosos R. Bing, Haken, Moise y Papa-kyriakopoulos. Papachirakopoulos es un matemático griego que ganó el Premio Veblen en 1964. Como su nombre es tan largo y difícil de pronunciar, todos lo llaman "Papá". Hasta 1948, papá se mantuvo a cierta distancia del círculo matemático hasta que fue invitado a la Universidad de Princeton.
Papá es famoso por demostrar el famoso "Lema de Dehn" (Dehn's Lemma) John Milnor, un matemático al que le gusta escribir con tinta, escribió una vez una quintilla al respecto: "Ruthless Dehn" El lema/el enemigo natural de todo topólogo/hasta Papachirakoulos. Se demostró sin esfuerzo”. Sin embargo, este inteligente topólogo griego no logró demostrar la conjetura de Poincaré. Hay una historia que circula en la Universidad de Princeton. Hasta su muerte en 1976, papá todavía estaba tratando de probar la conjetura de Poincaré. Cuando murió, le dio una gran pila de manuscritos a un amigo matemático, sin embargo, después de pasar solo unas pocas páginas, el matemático descubrió su error, pero en. Para dejar que papá se fuera tranquilamente, finalmente decidió permanecer en silencio.
Aunque la investigación de los topólogos sobre la conjetura de Poincaré durante este período no produjo los resultados que esperaban, condujo al desarrollo de la disciplina de la topología de baja dimensión.
El fracaso de repetidos intentos ha convertido la conjetura de Poincaré en uno de los problemas matemáticos más difíciles de demostrar. Sin embargo, debido a que es la base de la investigación de la topología geométrica, los matemáticos no pueden dejarla de lado. En ese momento, las cosas mejoraron.
A Smale, ganador de la Medalla Fields en 1966, se le ocurrió una idea genial a principios de la década de 1960: si la conjetura tridimensional de Poincaré es difícil de resolver, ¿será más fácil resolver la de alta dimensión? ¿Paño de lana? De 1960 a 1961, era frecuente ver a una persona en la playa de Río de Janeiro, sosteniendo papel y lápiz, pensando en el mar. Él es Smail. En el verano de 1961, en la Conferencia sobre Vibraciones No Lineales celebrada en Kiev, Smail anunció su demostración de la conjetura de Poincaré en cinco dimensiones y más allá, lo que inmediatamente causó sensación.
Más de 10 años después, en 1983, el matemático estadounidense Freedman llevó la demostración un paso más allá. Basándose en el trabajo de Donaldson, demostró la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones, por lo que ganó la Medalla Fields. Sin embargo, el trabajo para avanzar se ha estancado.
No ha habido avances en el estudio de la conjetura tridimensional de Poincaré utilizando métodos topológicos, y algunas personas han comenzado a pensar en otras herramientas. Thruston es uno de ellos. Introdujo métodos de estructuras geométricas para cortar variedades tridimensionales, por lo que ganó la Medalla Fields en 1983.
Sin embargo, la conjetura de Poincaré aún no ha sido demostrada. La gente espera con ansias la aparición de una nueva herramienta.
"Al igual que el último teorema de Fermat, cuando se demostró la conjetura de Taniyama Shimura, aunque la gente aún no podía ver las perspectivas específicas, todos lo sabían. Porque apareció una herramienta que puede resolver el problema", dijo Wen Zhiying. , director del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Tsinghua.
Pero ¿dónde están las herramientas para resolver la Conjetura de Poincaré?
Las herramientas están disponibles.
Richard Hamilton, nacido en 1943, es 6 años mayor que Qiu Chengtong. Aunque al bromear, Qiu Chengtong llamaría en broma a este viejo amigo con el que es amigo desde hace más de 30 años y al que le gusta surfear, viajar y tener novias "Playboy", cuando se trata de sus logros matemáticos solo hay elogios y simpatía. .
En 1972, Qiu Chengtong y Li Weiguang colaboraron para desarrollar una teoría para estudiar estructuras geométricas utilizando ecuaciones diferenciales no lineales. Yau utilizó este método para probar la conjetura de Calabi y ganó la Medalla Fields por ello. En 1979, Yau, entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Stanford, conoció a Hamilton en un seminario en la Universidad de Cornell. "En ese momento, Hamilton simplemente estaba haciendo el flujo de Ricci. Nadie más lo sabía, así que me lo contó. Pensé que no era fácil de hacer. Inesperadamente, en 1980, logró el primer resultado importante, Qiu Chengtong". Dijo: "Entonces le dije que este resultado se puede utilizar para probar la conjetura de Poincaré y el gran problema del espacio tridimensional".
El flujo de Ricci, una ecuación que lleva el nombre del matemático italiano Gregorio Ricci. Se puede utilizar para completar una serie de operaciones topológicas, construir estructuras geométricas y convertir variedades irregulares en variedades regulares, resolviendo así la conjetura tridimensional de Poincaré. Después de ver la importancia de esta ecuación, Qiu Chengtong inmediatamente pidió a varios de sus alumnos que estudiaran el flujo de Ricci con Hamilton. Entre ellos se encontraba Cao Huaidong, su primer alumno de China continental.
La primera vez que conocí a Cao Huaidong fue en el informe de Qiu Chengtong sobre la conjetura de Poincaré en la Conferencia Superstring.
Aunque casi todos los medios buscaban a Cao Huaidong durante ese período, nadie lo reconoció a pesar de caminar varias veces por el lugar vistiendo una camiseta grande de colores brillantes. No es de extrañar. La gran mayoría de los matemáticos siguen siendo personas en la torre de marfil, lejos de la vista del público. Incluso un matemático de fama mundial como Witten, sentado en la última fila, parece estar recluido en la ciudad.
En 1982, Cao Huaidong obtuvo el doctorado de Qiu Chengtong. En 1984, cuando Qiu Chengtong se transfirió a la Universidad de California en San Diego para enseñar, Cao Huaidong también lo siguió. Sin embargo, pasó la mayor parte de su tiempo "pasando el rato" con Hamilton, quien también se transfirió de la Universidad de Cornell a San Diego. En ese momento, los cuatro estudiantes de doctorado de Qiu Chengtong seguían la dirección de investigación de Hamilton. Entre ellos, el que mejor lo hizo fue Shi Wanxiong. Escribió muchos artículos hermosos y presentó muchas buenas ideas. Sin embargo, debido a razones ambientales y de personalidad, Shi Wanxiong dejó de estudiar matemáticas después de no conseguir un puesto docente permanente en la universidad. Hablando de Shi Wanxiong, Qiu Chengtong todavía se arrepiente de sus palabras hasta el día de hoy. Una hipótesis inútil pero que invita a la reflexión es que si Shi Wanxiong persistiera en ese momento, ¿se reescribiría la historia actual sobre la conjetura de Poincaré?
Cuando se utiliza el flujo de Ricci para la transformación espacial, más adelante siempre habrá puntos cuya dirección no se puede controlar. Estos puntos se llaman singularidades. Cómo captar sus movimientos es la clave para demostrar la conjetura tridimensional de Poincaré. En 1993, después de inspirarse en el trabajo de Yau Shing-tung y Li Weiguang sobre ecuaciones diferenciales no lineales, Hamilton publicó un importante artículo sobre la comprensión de las singularidades. En este momento, Qiu Chengtong sintió vagamente que se acercaba el momento de resolver la conjetura de Poincaré.