Explicación
El concepto básico de función: generalmente, en un determinado proceso de cambio, hay dos variables xey. Si se da un valor de X, se determina en consecuencia. solo el valor de Y corresponde a X, entonces decimos que Y es una función de X. X es la variable independiente e Y es la variable dependiente, lo que significa que Y es una función de X. Cuando x = a, el valor de la función se llama valor de la función cuando x = a.
[Editar este párrafo] Definición y fórmula de definición
La variable independiente x y la variable dependiente y tienen la siguiente relación:
y=kx (k es número real arbitrario pero no cero)
O y=kx b (k es cualquier número real distinto de cero, b es cualquier número real)
En este momento, se dice que y ser una función lineal de x.
Especialmente, cuando b=0, y es una función proporcional de x. La proporción directa es Y=kx b.
Es decir: y=kx (k es cualquier número real distinto de cero)
Dominio: el rango de valores de la variable independiente, el valor de la variable independiente debe hacer que la función significativo; es necesario consistente con la realidad.
[Editar este párrafo] Propiedades de una función lineal
1. El valor de cambio de y es directamente proporcional al valor de cambio correspondiente de x, y la relación es k
Es decir: y=kx b (k≠0) (k no es igual a 0, y k y b son constantes)
2. la función en el eje y.
3.k es la pendiente de la función lineal y=kx b, k=tg ángulo 1 (el ángulo 1 es el ángulo entre la gráfica de la función lineal y la dirección positiva del eje x)
con forma. Elegir. elefante. pagar. Restar
4. La función proporcional también es una función lineal.
5. Propiedades de la imagen de la función: cuando k es igual y b no es igual, las imágenes son paralelas cuando k; es diferente y b es igual, las imágenes se cruzan; cuando k y b son iguales, los dos segmentos de recta coinciden.
[Editar este párrafo] La imagen y propiedades de una función lineal
1. Método y gráficos: a través de los siguientes tres pasos
(1) Listar [generalmente tomar dos puntos y determinar una línea recta en función de los dos puntos];
(2) Dibujar puntos;
(3) Las líneas conectadas pueden formar la imagen de una función lineal: una línea recta. Por lo tanto, para hacer la gráfica de una función lineal, solo necesitas conocer 2 puntos y conectarlos en línea recta. (Por lo general, encuentre la intersección de la gráfica de la función y los ejes x e y)
2. Propiedades: (1) Cualquier punto P(x, y) de la función lineal satisface la ecuación: y=kx b(k≠0). (2) Las coordenadas del punto de intersección de una función lineal y el eje y son siempre (0, b), y las coordenadas del punto de intersección de una función lineal y el eje x son siempre (-b/k, 0). Todas las imágenes de las funciones proporcionales pasan por el origen.
3. Una función no es un número, se refiere a la relación entre dos variables en un determinado proceso variable.
4. k, by el cuadrante de la imagen de la función:
Cuando y=kx (es decir, b es igual a 0, y es proporcional a x)
Cuando k>0, la línea recta debe pasar por uno, En el tercer cuadrante, y aumenta a medida que aumenta x;
Cuando k<0, la línea recta debe pasar por el segundo y cuarto cuadrante, y y disminuye a medida que aumenta x.
Cuando y=kx b:
Cuando kgt; 0, bgt; 0, entonces la gráfica de esta función pasa por el primer, segundo y tercer cuadrante.
Cuando kgt; 0, blt; 0, entonces la gráfica de esta función pasa por el primer, tercer y cuarto cuadrante.
Cuando klt; 0, bgt; 0, entonces la gráfica de esta función pasa por el primer, segundo y cuarto cuadrante.
Cuando klt; 0, blt; 0, entonces la gráfica de esta función pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante.
Cuando b>0, la línea recta debe pasar por el primer y segundo cuadrante;
Cuando b<0, la línea recta debe pasar por el tercer y cuarto cuadrante.
En concreto, cuando b=0, la recta que pasa por el origen O (0, 0) representa la imagen de una función proporcional.
En este momento, cuando k>0, la línea recta solo pasa por el primer y tercer cuadrante; cuando k<0, la línea recta solo pasa por el segundo y cuarto cuadrante.
4. Relación posicional especial
Cuando dos líneas rectas en el sistema de coordenadas plano rectangular son paralelas, el valor K (es decir, el coeficiente del término lineal) en la fórmula de la función analítica es igual
p>
Cuando dos líneas rectas en el sistema de coordenadas plano rectangular son perpendiculares, los valores de K en la fórmula analítica funcional son recíprocos negativos entre sí (es decir, el producto de los dos valores de K es -1 )
[Editar este párrafo] Determinar la función lineal La expresión de
Dados los puntos A (x1, y1 B (x2, y2), determine la expresión de la Función lineal que pasa por los puntos A y B.
(1) Supongamos que la expresión de una función lineal (también llamada expresión analítica) es y=kx b.
(2) Porque cualquier punto P(x, y) de la función lineal satisface la ecuación y=kx b. Por lo tanto, se pueden enumerar dos ecuaciones: y1=kx1 b... ① y y2=kx2 b... ②
(3) Resuelve esta ecuación lineal de dos variables y obtén los valores de k y b.
(4) Finalmente se obtiene la expresión de la función primaria.
[Editar este párrafo] Aplicación de la función lineal en la vida
1. Cuando el tiempo t es constante, la distancia s es una función lineal de la velocidad v. s=vt.
2. Cuando la velocidad de bombeo f de la piscina es constante, la cantidad de agua g en la piscina es una función lineal del tiempo de bombeo t. Supongamos el volumen de agua original S en la piscina. g=S-pies
[Editar este párrafo] Fórmulas de uso común
1. Encuentra el valor k de la imagen de la función: (y1-y2)/(x1-x2)
2. Encuentra el punto medio del segmento de línea paralelo al eje x: |x1-x2|/2
3. Encuentra el punto medio del segmento de línea paralelo al eje y: |y1- y2|/2
4. Encuentra la longitud de cualquier segmento de línea: √(x1-x2)^2 (y1-y2)^2 (Nota: la suma de los cuadrados de (x1-x2) y (y1-y2) bajo el signo de la raíz)
5. Encuentra las coordenadas de intersección de la imagen de dos expresiones funcionales lineales: resuelve las dos expresiones funcionales
Dos funciones lineales y1= k1x b1 y2=k2x b2 Deje que y1=y2 obtenga k1x b1=k2x b2 La solución será Sustituir el valor de x=x0 por y1=k1x b1 y2=k2x b2, cualquiera de las dos ecuaciones produce y=y0. , y0) es la coordenada de intersección de y1=k1x b1 y y2=k2x b2
6. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento de línea que conecta dos puntos cualesquiera: [(x1 x2)/2, (y1 y2). )/2]
7. Encuentre la fórmula analítica de la función lineal de la recta que conecta dos puntos cualesquiera: (X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (donde el denominador es 0, entonces el numerador es 0)
k b
en los cuadrantes 1, 2 y 3
- En los cuadrantes 1, 3 y 4
- En los cuadrantes 1, 2 y 4
- - En los cuadrantes 2, 3 y 4 Cuatro cuadrantes
8 Si dos rectas y1=k1x b1. ‖y2=k2x b2, entonces k1=k2, b1≠b2
9 Si dos rectas y1=k1x b1 ⊥y2=k2x b2, entonces k1×k2=-1
10. Mueva X hacia la izquierda, luego B. Si Y se mueve hacia abajo, la aplicación Si no está completa, a alguien le gustaría agregarla)
[Editar este párrafo]
Las propiedades de la función lineal y=kx b son: (1) Cuando kgt 0, y aumenta con x Aumenta a medida que es grande (2) Cuando klt 0, y disminuye a medida que x aumenta; Los siguientes problemas se pueden resolver utilizando las propiedades de funciones lineales.
1. Determine el rango de valores del coeficiente de letras.
Ejemplo 1. La función proporcional es conocida, entonces cuando klt;0, y disminuye a medida que x aumenta.
Solución: Según la definición y propiedades de la función proporcional, obtenemos y mlt 0, es decir, y , entonces .
2. Compara el tamaño del valor x o del valor y
Ejemplo 2. Se sabe que los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son funciones lineales y =3x 4 Dos puntos en la imagen y y1gt; y2, entonces la relación de tamaño entre x1 y x2 es ( )
A. x1gt; para determinar
Solución: Según el significado de la pregunta, sabemos que k=3gt 0, y1gt; Según la propiedad de una función lineal "cuando kgt; 0, y aumenta con el aumento de x", obtenemos x1gt;x2. Por lo tanto elige A.
3. Determine la posición del gráfico de la función
Ejemplo 3. Si la función lineal y=kx b satisface kbgt, y y disminuye a medida que x aumenta, entonces esta función The imagen de no pasa por ( )
A. El primer cuadrante B. El segundo cuadrante
C. El tercer cuadrante D. El cuarto cuadrante
Solución : De kbgt;0, sabemos que k y b tienen el mismo signo. Como y disminuye a medida que x aumenta, klt;0. Entonces blt;0. Por lo tanto, la gráfica de la función lineal y=kx b pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante, pero no por el primer cuadrante. Por lo tanto, elija A. Preguntas de ejemplo típicas:
Ejemplo 1. Un resorte mide 12 cm de largo cuando no se cuelga ningún objeto. Se estirará después de colgar un objeto. La longitud del alargamiento es proporcional a la masa del objeto colgado. Objeto si está colgado, después de agregar un objeto de 3 kg, la longitud total del resorte es 13,5 cm. Encuentre la relación funcional entre la longitud total del resorte y (cm) y la masa del objeto colgante x (kg). Si la longitud total máxima del resorte es de 23 cm, encuentre el rango de valores de la variable independiente x.
Análisis: esta pregunta se transforma de un problema cualitativo en física a un problema cuantitativo en matemáticas. Un problema práctico es que la longitud total del resorte es la suma de la longitud sin carga y la longitud después de la carga, y desde El rango de valores de la variable puede ser manejado por la longitud total máxima → alargamiento máximo → masa máxima y. ideas prácticas.
Solución: Según el significado de la pregunta, la función deseada es y=kx 12
Entonces 13.5=3k 12, obtenemos k=0.5
∴La fórmula analítica de la función requerida es y=0.5x 12
De 23=0.5x 12, obtenemos: x=22
p>∴El rango de valores de la variable independiente x es 0≤x≤22
Ejemplo 2
Una escuela necesita grabar algunos CD de computadora. Cada CD cuesta 8 yuanes. Si la escuela lo graba sola, Además de alquilar una grabadora por 120 yuanes, cada CD costará 4 yuanes. ¿Es más barato grabar estos discos en una empresa de informática o es más barato para la escuela grabarlos por su cuenta?
Esta pregunta debe considerar el rango de X
Solución: suponga que el costo total es Y yuanes y queme
Escuela: Y2=4X 120
Cuando X=30, Y1=Y2
Cuando Xgt; 30, Y1gt; Y2
Cuando Xlt ; /p>
La definición, imagen y propiedades de una función lineal son puntos de conocimiento de nivel C en las instrucciones del examen de ingreso a la escuela secundaria, especialmente de acuerdo con las condiciones de las preguntas Encontrar la expresión analítica de una función y usar el método de Los coeficientes indeterminados son puntos de conocimiento de nivel D en las instrucciones del examen de ingreso a la escuela secundaria. A menudo se combinan con funciones proporcionales inversas, funciones y ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones y desigualdades, con preguntas de opción múltiple, para completar los espacios en blanco. preguntas, Los tipos de preguntas, como las preguntas de solución, aparecen en las preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria y representan aproximadamente 8 puntos. Los métodos de pensamiento matemático, como la discusión de clasificación, la combinación de números y formas, las ecuaciones y las transformaciones, se utilizan comúnmente para resolver este tipo de problemas.
Ejemplo 2. Si una vez El rango de valores de x en la función y=kx b es -2≤x≤6, y el rango de valores de la función correspondiente es -11≤y≤9 Encuentre la fórmula analítica de esta función.
Solución: (1) Si k>0, puedes formular el sistema de ecuaciones -2k b=-11
6k b=9
Resuelve para k= 2.5 b=-6, entonces la expresión de la relación funcional en este momento es y=2.5x—6
(2) Si k<0, el sistema de ecuaciones -2k b=9
6k b=-11
La solución es k=-2.5 b=4, entonces la expresión analítica de la función en este momento es y=-2.5x 4
Puntos de prueba
p>Esta pregunta evalúa principalmente la comprensión de los estudiantes sobre las propiedades de las funciones. Si k>0, entonces y aumenta a medida que x aumenta; si k<0, entonces y disminuye a medida que x aumenta.
Varios tipos de expresiones analíticas de funciones lineales
①ax by c=0[fórmula general]
②y=kx b[fórmula pendiente-intersección]
(k es la pendiente de la línea recta, b es la intersección longitudinal de la línea recta, la función proporcional b=0)
③y-y1=k(x-x1)[ tipo punto-pendiente]
(k es la pendiente de la recta, (x1, y1) es un punto por el que pasa la recta)
④(y-y1) /(y2-y1)=(x-x1)/(x2 -x1)[Fórmula de dos puntos]
((x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos de la recta )
⑤x/a-y/b=0[fórmula de distancia de intersección]
(a y b son las intersecciones de la línea recta en los ejes x e y respectivamente)
Limitaciones de la expresión analítica:
①Requerido Hay muchas condiciones (3
② y ③ no pueden expresar una línea recta sin pendiente (una línea recta paralela a la x); -axis);
④ Hay muchos parámetros y el cálculo es demasiado engorroso;
⑤ No se pueden expresar líneas rectas paralelas al eje de coordenadas y líneas rectas que pasan por puntos circulares.
Ángulo de inclinación: El ángulo entre el eje x y la línea recta (el ángulo entre la línea recta y la dirección positiva del eje x) se llama ángulo de inclinación de la línea recta. Supongamos que el ángulo de inclinación de una línea recta es a, entonces la pendiente de la línea recta k=tg(a)