Capítulo 5 Ecuaciones (Grupos)
★Puntos clave★Ecuaciones lineales de una variable, ecuaciones cuadráticas de una variable, soluciones a sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, problemas de aplicación relacionados de; ecuaciones (especialmente trazos, problemas de ingeniería)
☆ Resumen de contenido☆
1. Conceptos básicos
1. Ecuaciones, soluciones (raíces) de ecuaciones, soluciones de sistemas de ecuaciones, soluciones de ecuaciones (sistemas)
2. Categoría:
2. Bases para la resolución de ecuaciones: propiedades de las ecuaciones
1. a=b←→a c=b c
2． a=b←→ac=bc (c≠0)
3. La solución a una ecuación lineal de una variable: quitar el denominador → quitar los corchetes → mover términos → combinar términos similares →
Cambia los coeficientes a 1 → resolver.
2． Soluciones a sistemas de ecuaciones lineales: ⑴Idea básica: "eliminación" ⑵Métodos: ①Método de sustitución
②Método de suma y resta
Ecuaciones cuadráticas de una variable
1. ． Definición y forma general:
2. Solución: ⑴ Método de raíz cuadrada directa (preste atención a las características)
⑵ Método de asignación (preste atención a los pasos: anular la fórmula raíz)
⑶ Método de fórmula:
⑷ Método de descomposición factorial (característica: izquierda = 0)
3. El discriminante de la raíz:
4. La relación entre la raíz y la parte superior del coeficiente:
Teorema inverso: Si , entonces la ecuación cuadrática de una variable que tiene como raíz es: .
5． Ecuaciones de uso común:
5. Ecuaciones que se pueden transformar en ecuaciones cuadráticas
1. Ecuación fraccionaria
⑴Definición
⑵Idea básica:
⑶Solución básica: ①Método de eliminación del denominador ②Método de sustitución (como,)
⑷Inspección de raíz y métodos
2. Ecuación irracional
⑴Definición
⑵Idea básica:
⑶Solución básica: ① Método de multiplicación (¡¡presta atención a las habilidades!!) ② Método de sustitución (por ejemplo, ) ⑷Inspección y métodos de raíces
3. Sistema simple de ecuaciones cuadráticas de dos variables
Un sistema de ecuaciones cuadráticas que consta de una ecuación lineal de dos variables y una ecuación cuadrática de dos variables se puede resolver mediante el método de sustitución.
6. Resolver problemas escritos usando ecuaciones (conjuntos)
Descripción general
Resolver problemas escritos usando ecuaciones (conjuntos) es un aspecto importante de la integración de las matemáticas de la escuela secundaria con práctica . Los pasos específicos son:
⑴ Revisa la pregunta. Comprender el significado de la pregunta. Descubra cuáles son las cantidades conocidas en el problema, cuáles son las cantidades desconocidas y cuáles son las relaciones de igualdad dadas e involucradas en el problema.
⑵ Asume el elemento (número desconocido). ① Incógnitas directas ② Incógnitas indirectas (a menudo se utilizan ambas). En términos generales, cuantas más incógnitas haya, más fácil será formular la ecuación, pero más difícil será resolverla.
⑶ Utilice expresiones algebraicas que contengan números desconocidos para expresar cantidades relevantes.
⑷Busque relaciones de igualdad (algunas están dadas por la pregunta y otras por las relaciones de equivalencia involucradas en el problema) y haga ecuaciones. Generalmente, el número de incógnitas es el mismo que el número de ecuaciones.
⑸Resolución de ecuaciones y pruebas.
⑹Respuesta.
En resumen, la esencia de resolver problemas escritos de ecuaciones (conjuntos) es primero transformar problemas prácticos en problemas matemáticos (elementos de configuración, ecuaciones), y luego la solución de problemas matemáticos conduce a la solución de Problemas prácticos (Hacer una ecuación y escribir la respuesta). En este proceso, las ecuaciones sirven como vínculo entre el pasado y el futuro. Por lo tanto, formular ecuaciones es la clave para resolver problemas planteados.
Dos relaciones de igualdad de uso común
1. Problema de carrera (movimiento de velocidad uniforme)
Relación básica: s=vt
⑴Problema de encuentro (salida simultánea):
=
; ⑵Problema de ponerse al día (saliendo al mismo tiempo):
Si B parte t horas después de que A parta y luego alcanza a A en B, entonces
⑶ Navegando en el agua:
2. Problema de ingredientes: soluto = solución × concentración
Solución = soluto disolvente
3. Problema de tasa de crecimiento:
4. Problemas de ingeniería: Relación básica: carga de trabajo = eficiencia del trabajo × tiempo de trabajo (la carga de trabajo a menudo se considera la unidad "1").
5. Problemas de geometría: teorema de Pitágoras de uso común, fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos, formas similares y propiedades proporcionales relacionadas, etc.
3. Presta atención a la interacción entre el lenguaje y las expresiones analíticas.
Por ejemplo, "más", "menos", "aumentó", "aumentó a (a)", " al mismo tiempo", "Expandido a (a)", "expandido",...
Otro ejemplo es un número de tres dígitos, el dígito de las centenas es a, el dígito de las decenas es b, y el dígito de las unidades es c, entonces este El número de tres dígitos es: 100a 10b c, no abc.
En cuarto lugar, preste atención a escribir relaciones iguales a partir de la descripción del idioma.
Por ejemplo, x es 3 mayor que y, entonces x-y=3 o x=y 3 o x-3=y. Para otro ejemplo, si la diferencia entre xey es 3, entonces x-y=3. 5. Preste atención a la conversión de unidades
Por ejemplo, la conversión de "horas" y "minutos" la consistencia de las unidades s, v, t, etc.
7. Ejemplos de aplicación (omitido)
Capítulo 6: Grado de desigualdades lineales de una variable (grupo)
★Puntos clave★Propiedades y soluciones de lineal desigualdades de una variable
☆ Resumen de contenido☆
1. Definición: a>b, a 2． Desigualdades de primer grado de una variable: ax＞b, ax＜b, ax≥b, ax≤b, ax≠b(a≠0). 3． Grupo de desigualdades lineales de una variable: 4. Propiedades de las desigualdades: ⑴agt; b←→a cgt; ⑵agt; b←→acgt; bc(cgt; 0) ⑶agt; ;0) ⑷ (transitivo) agt; b, bgt; c→agt; c ⑸agt; b, cgt; 5. Soluciones a desigualdades lineales de una variable y soluciones a desigualdades lineales de una variable 6. Soluciones a grupos de desigualdades lineales en una variable y soluciones a grupos de desigualdades lineales en una variable (que representan la solución establecida en el eje numérico) Se puede decir que la enseñanza de problemas de aplicación de ecuaciones recorre todo el Todo el grado superior de la escuela primaria y la escuela secundaria ocupa una posición muy importante en las actividades de aprendizaje de matemáticas (las horas de enseñanza de todas las ecuaciones de la escuela secundaria y sus problemas de aplicación son 41 horas, lo que representa aproximadamente el 11,5% de toda la escuela secundaria). horas de matemáticas), y la enseñanza de ecuaciones lineales y problemas de aplicación de una variable son todas ecuaciones. Es la parte inicial más básica en la enseñanza de problemas de aplicación. Por lo tanto, la enseñanza exitosa de esta parte juega un papel vital en la enseñanza posterior, incluida la aplicación. de ecuaciones lineales de dos variables y la aplicación de ecuaciones cuadráticas de una variable. Sin embargo, dado que la memoria mecánica de los estudiantes de primer grado de la escuela secundaria es relativamente fuerte, su capacidad analítica aún es relativamente débil. Por lo tanto, para mejorar el efecto de enseñanza de los problemas de aplicación matemática en el primer grado de la escuela secundaria, Además de mejorar gradualmente la capacidad de análisis matemático de los estudiantes, también debemos brindarles orientación oportuna sobre la metodología de resolución de problemas también es un tema que todo profesor de matemáticas debe considerar y explorar seriamente. Obviamente, la clave para resolver problemas escritos enumerando ecuaciones es enumerar las ecuaciones correspondientes en función de las relaciones de equivalencia implícitas en las preguntas. A través de muchos años de práctica docente, el autor cree que la enseñanza de problemas de aplicación de matemáticas en la escuela secundaria puede tener básicamente los siguientes métodos: 1. Es decir, las ecuaciones relevantes se enumeran directamente utilizando palabras que indican relaciones cuantitativas como "suma", "menos" y "múltiplo" en la pregunta. Ejemplo 1 Hay 27 personas trabajando en el lugar A y 19 personas trabajando en el lugar B. Ahora 20 personas se transfieren al soporte, de modo que el número de personas en el lugar A es el doble del número de personas en el lugar. B. ¿Cuántas personas deberían ser trasladadas a A y B? Análisis: Obviamente, una vez completada la transferencia de personal, el número de personas en el Departamento A = 2 × el número de personas en el Departamento B. Explicación: Supongamos que transfieres persona), La solución es x=17 ∴20-x=20-17=3 (personas) Respuesta: 17 deben ser transferidos al Departamento A Personas, 3 personas al Departamento B. 2. Método de la fórmula. Fórmulas familiares para los estudiantes como "distancia = velocidad × tiempo", "cantidad total de trabajo = eficiencia del trabajo × tiempo de trabajo", "beneficio = precio de venta - precio de compra", "tasa de beneficio = beneficio/precio de compra", etc. todas las soluciones a ecuaciones relacionadas Herramienta de preguntas de aplicación. Ejemplo 2 El precio de compra de un producto es 1.800 yuanes y el precio original es 2.250 yuanes. Debe venderse con un descuento y un margen de beneficio no inferior a 5. ¿Cuál es el más bajo? ¿Descuento al que se puede vender este producto? Análisis: Basado en la fórmula de la tasa de ganancia, simplemente enumere la ecuación. Solución: Establecer el descuento mínimo en x. Según el significado de la pregunta: 5=(2250x-1800)/1800, La solución es x=0,84 Respuesta: El descuento más bajo es del 14%. 3. Método de puntuación total. Es decir, la ecuación se enumera basándose en el hecho de que la cantidad total es igual a la suma de cada componente. Al utilizar este método, tenga cuidado de no omitir ningún componente. Ejemplo 3 "¡Transeúntes! Diofanto está enterrado aquí. Por favor, calcula las siguientes preguntas para saber cuántos inviernos y calores pasó en su vida. Una sexta parte de su vida fue una infancia feliz, y un 12% Uno era un joven despreocupado. Un séptimo de año después, formó una familia feliz. Cinco años después, nació su hijo. Inesperadamente, su hijo murió cuatro años antes que su padre y solo vivió hasta la edad de su padre. La mitad. El anciano que perdió a su hijo en sus últimos años es tan lamentable. Pasó sus últimos años en pena. Por favor, calcule cuánto tiempo vivió Diofanto antes de conocer al Dios de la Muerte." Análisis: Esto La pregunta es la famosa "Epitafio" de Diofanto, la pregunta divide hábilmente la edad total de Diofanto en varias partes. Al resolver el problema, solo necesitas usar su edad total = la suma de las edades de cada parte para obtener la respuesta. Explicación: Supongamos que Diofanto vivió x años. Según el significado de la pregunta, podemos obtener: x=x/6 x/12 x/7 5 x/2 4 La solución es x=84 Respuesta: Diofanto vivió hasta los 84 años. De la respuesta a esta pregunta, también podemos saber que Diofanto, el gran matemático de la antigua Grecia, se casó a los 33 años, tuvo un hijo a los 38 años, murió a los 38 años. 80, y el hijo vivió hasta los 42 años, etc. 4. El mismo método. El principio para resolver este tipo de problemas es: si la misma cantidad se puede expresar mediante dos expresiones algebraicas diferentes, entonces las dos expresiones algebraicas deben ser iguales. Ejemplo 4 Un grupo de estudiantes salió de la escuela para ir al ejército para recibir entrenamiento militar. La velocidad de viaje era de 5 kilómetros por hora. Después de caminar 4,5 kilómetros, un corresponsal regresó a la escuela por la misma ruta. Para dar la noticia, inmediatamente persiguió al grupo, la velocidad del corresponsal fue de 14 kilómetros por hora. Alcanzó al equipo a 6 kilómetros de las tropas y preguntó cuál era la distancia desde la escuela hasta las tropas. (Se ignora el tiempo de presentación) Análisis: La clave de la respuesta a esta pregunta radica en el tiempo que le toma al corresponsal regresar a la escuela y ponerse al día con el equipo y el tiempo que le toma al equipo para viajar de 4,5 kilómetros a 6 kilómetros de distancia de las tropas son iguales (mismo período de tiempo). Solución: Supongamos que la distancia de la escuela al ejército es de x kilómetros. Según el significado de la pregunta: (x-4.5-6)/5=(x 4.5-6)/14, La solución es: x=15.5 Respuesta: La distancia de la escuela al ejército es de 15,5 kilómetros. Por supuesto, los cuatro métodos anteriores no se utilizan de forma aislada. Por ejemplo, la respuesta al Ejemplo 4 debe utilizar la fórmula: "distancia = velocidad × tiempo". Y la solución a una pregunta a menudo no es única. Por ejemplo, la solución del Ejemplo 1 también puede utilizar el método de puntuación total: Solución: suponga que después de la asignación de personal, el número de personas en el Departamento B es. x personas, y el número de personas en el Departamento A es 2x. El número total de personas después de la distribución es 27 19 20 = 66 personas Según el significado de la pregunta: x 2x = 27 19 20, La solución es x = 22. , ∴2x=44, entonces 44-27=17 (personas), 22-19=39 (personas) Respuesta: 17 personas deben ser transferidas al Departamento A y 3 personas al Departamento B. Se puede ver que el entrenamiento en la metodología de problemas de aplicación de ecuaciones no solo permite a la mayoría de los estudiantes "seguir las imágenes" al resolver problemas relacionados, sino que también es de gran importancia para cultivar la divergencia y diversidad de los estudiantes. Pensamiento: Son posibles múltiples interpretaciones. Una colección de problemas escritos sobre ecuaciones lineales de una variable: (1) Problemas de itinerario: 1. Del punto A al punto B, ¿qué es? la proporción de caminata de alguien El autobús tarda 3,6 horas más. Se sabe que la velocidad de caminata es de 8 kilómetros por hora y la velocidad del autobús es de 40 kilómetros por hora. Supongamos que A y B están separados por x kilómetros, entonces la ecuación es ______________. 2. Dos personas A y B parten al mismo tiempo desde dos lugares separados por 18 kilómetros, caminando uno hacia el otro, y se encuentran en 1 hora y 48 minutos si A sale 40 minutos antes. que B, luego 1 hora después de que B sale Dos personas se encuentran en 30 minutos Encuentre la velocidad de A y B. 3. Alguien va en bicicleta de casa al colegio. Si viajas a 15 kilómetros por hora, puedes llegar 15 minutos antes de la hora programada; si viajas a 9 kilómetros por hora, puedes llegar 15 minutos más tarde de la hora programada. ¿Cuántos kilómetros hay de casa a la escuela? 4. Hay dos personas entrenando en la pista de 800 metros. A corre a 320 metros por minuto y B corre a 280 metros por minuto. Comienzan desde el mismo lugar y en la misma dirección. tiempo Después de t minutos, el segundo Para un encuentro, t es igual a minutos. 5. Un tren de pasajeros tiene 200 m de largo y un tren de mercancías tiene 280 m de largo. Corren uno hacia el otro por vías paralelas. Pasan 16 segundos desde el momento en que los frentes de los dos vagones se encuentran. hasta cuando se separan las dos traseras. Se conocen las velocidades del turismo y del camión la relación es 3:2 ¿Cuántos metros recorren los dos coches por segundo? Pregunta sobre el reloj: 10. Entre las 6 y las 7, ¿cuándo coincidirán el minutero y el horario del reloj? (Preguntas de revisión de libros de texto) Problema del velero: 12. Un barco navega entre dos muelles. La velocidad del agua es de 3 kilómetros por hora. Se necesitan 2 horas para navegar a lo largo de la corriente. Se necesitan 3 horas para navegar contra la corriente ¿Cuál es la distancia entre los dos muelles? 13. Un avión vuela entre dos ciudades La velocidad del viento es de 24 kilómetros por hora. Tarda 2 horas y 50 minutos en volar con el viento y 3 horas en volar con el viento. las dos ciudades. (2) Problemas del proyecto: 1. Un proyecto tarda 10 días en completarse cuando A lo hace solo y 15 días cuando B lo hace solo. Después de que los dos trabajan juntos. 4 días, lo que queda de la parte B lo debe hacer B solo. ¿Cuántos días tardará en completarse? 2. Un determinado proyecto lo completan dos equipos, A y B. El equipo A tarda 16 días en completarlo solo y el equipo B tarda 12 días en completarlo solo. Si el equipo A trabaja primero durante 4 días y luego los dos equipos trabajan juntos, ¿cuántos días más se pueden completar cinco sextos del proyecto? 3. Se sabe que cierta piscina tiene un tubo de entrada y un tubo de salida. El tubo de entrada funciona durante 15 horas para llenar la piscina vacía y el tubo de salida funciona durante 24 horas para llenar la piscina llena. piscina; p> (1) Si la tubería de entrada de agua se abre por separado, ¿qué fracción de agua se puede inyectar en la piscina cada hora? (2) Si se abre el tubo de salida por separado, ¿qué fracción de la piscina se puede liberar por hora? (3) Si los dos tubos se encienden al mismo tiempo, ¿cuál es el efecto por hora? ¿Cómo enumerar la fórmula? (4) Para una piscina vacía, si primero se abre la tubería de entrada de agua durante 2 horas y luego se abren ambas tuberías al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tomará llenar la piscina? (3) y cuestiones diferenciales (producción, mano de obra y otras cuestiones): 1. Organizar un lote de libros requiere 40 horas para que lo complete una persona. Ahora está previsto que algunas personas lo hagan primero durante 4 horas y luego 2 personas más trabajarán con ellos durante 8 horas para completar el trabajo. Suponiendo que la eficiencia laboral de estas personas es la misma, ¿cuántas personas deberían organizarse para trabajar primero? 2. Los precios del agua, la electricidad y el gas en una zona residencial del condado de Yuechi son: el agua 1,55 yuanes por tonelada, la electricidad 0,67 yuanes por kilovatio hora y el gas natural 1,47 yuanes por metro cúbico. hogar en 2006 El pago en noviembre fue de 67,54 yuanes, que incluía el costo de usar 5 toneladas de agua, 35 kilovatios hora de electricidad y algo de gas natural, y también incluía una tarifa de servicio de 4,00 yuanes para la administración de la propiedad. ¿Medidores de gas natural utilizados en el hogar en noviembre de 2006? 3. Conocido: Los estándares de cobro de taxis en nuestra ciudad son los siguientes: si el kilometraje del taxi no supera los 2 kilómetros, la tarifa será de 2 yuanes; el kilometraje del taxi supera los 2 kilómetros, la tarifa excedente será de 2 yuanes. La tarifa es de 1,4 yuanes por kilómetro. (1) Si alguien viaja x kilómetros (xgt; 2) en taxi, ¿cuánto cuesta? el paga? (Expresiones algebraicas en serie, no simplificadas) (8 puntos) (2) Un turista tomó un taxi desde el Centro de Transporte de Pasajeros hasta Sanxingdui y pagó una tarifa de 10,4 yuanes. Intente estimar la distancia aproximada desde el. Centro de transporte de pasajeros a Sanxingdui kilómetro? Preguntas de puntos de competencia: 10. Una determinada empresa realiza una prueba de inglés para los solicitantes de empleo. Las preguntas de la prueba constan de 50 preguntas de opción múltiple. El estándar de puntuación estipula: La respuesta correcta. a cada pregunta vale 3 puntos, 0 puntos si no eliges, se descontará 1 punto si eliges incorrectamente. Se sabe que alguien no pudo resolver 5 preguntas y obtuvo 103 puntos. Esto significa que esta persona eligió la pregunta equivocada. 11. Ocho clases del séptimo grado de una escuela celebraron un partido amistoso de fútbol. Una victoria valía 3 puntos, un empate valía 1 punto y una derrota valía 0 puntos. Cierta clase jugó un partido contra otros siete equipos y acumuló 17 puntos con un récord invicto. ¿Cuántos juegos ganó esta clase? Pregunta sobre edad: 12. A es 15 años mayor que B. Hace cinco años, la edad de A era el doble que la de B. La edad actual de B es ________. 13. El padre de Xiaohua ahora es 25 años mayor que Xiaohua. En 8 años, el padre de Xiaohua será 3 veces y 5 años mayor que Xiaohua. Pregunte por la edad actual de Xiaohua. Problema de proporción: 14. La longitud de una determinada parte en el dibujo es de 32 cm y su longitud real es de 4 cm. Luego mida la longitud de otra parte en el dibujo para encontrar la longitud real de esta parte. 15. En un período, la relación entre el yen japonés y el RMB era de 25,2:1. Entonces, ¿cuántos RMB se pueden cambiar por 500.000 yenes japoneses? 16. El profesor Wei fue al mercado a comprar verduras y descubrió que si se ponía 10 kilogramos de verduras en la báscula, el puntero del dial giraba 180° como se muestra en la imagen, profesor Wei. Se lo dio a sus compañeros al día siguiente. Teníamos dos preguntas: (1) Si se coloca un plato de 0,5 kilogramos en la báscula, ¿cuánto ángulo girará el puntero? ( 2) Si el puntero gira en 540, ¿cuántos kilogramos pesan estos platos?