En matemáticas, el orden más alto de una función cuadrática debe ser cuadrático. En matemáticas, las funciones cuadráticas estudian principalmente la aplicación de fórmulas por parte de los estudiantes y son el foco del conocimiento matemático. ¿Cuáles son el resumen de los puntos de conocimiento de la función cuadrática? Echemos un vistazo al resumen de los puntos de conocimiento de la función cuadrática. ¡Bienvenido a verlo!
Resumen de los puntos de conocimiento de la función cuadrática matemática
Método de cálculo
1. Promedio de la muestra: ⑴ ⑵ Si, ,… , , entonces (a-constante, , ,..., está cerca de la constante relativamente integral a); (3) Promedio ponderado: (4) El promedio es el número de características que caracteriza la tendencia central (posición centralizada) de los datos. La media muestral se utiliza generalmente para estimar la media poblacional. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más precisa será la estimación.
2. Varianza muestral: ⑴; ⑵ Si, ,..., , entonces (a - una constante relativamente "integral" cercana al promedio de, ,...,); .., es menor que "En comparación con "todo", entonces; (3) La varianza muestral es un número característico que caracteriza el grado de dispersión (tamaño de fluctuación) de los datos. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la varianza muestral es muy cerca de la varianza poblacional, y la varianza muestral generalmente se usa para estimar la varianza poblacional.
3. Desviación estándar de muestra:
3. Ejemplos de aplicación (omitidos)
Puntos de conocimiento de matemáticas de la escuela secundaria: Capítulo 4 Líneas rectas
★Puntos clave★ Conceptos, juicios y propiedades relevantes de líneas que se cruzan, líneas paralelas, triángulos y cuadriláteros.
☆ Resumen ☆
1. Rectas, rectas que se cruzan y rectas paralelas
1. Las diferencias y conexiones entre segmentos de recta, semirrectas y rectas
Analizar desde los aspectos de "gráficos", "notación", "límites", "número de puntos finales", "propiedades básicas", etc.
2. El punto medio y la representación de segmentos de línea
3. Las propiedades básicas de las líneas rectas y los segmentos de línea (use las "propiedades básicas de los segmentos de línea" para demostrar que "la suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado")
4. La distancia entre dos puntos (tres distancias: punto-punto; punto-recta; línea-recta)
5. Ángulo (ángulo rectangular, ángulo circunferencial, ángulo recto, ángulo agudo, ángulo obtuso)
6. Ángulos complementarios, ángulos suplementarios y sus métodos de representación
7. Bisectrices de ángulos y su representación
8. Rectas Perpendiculares y propiedades básicas (úsalo para demostrar que "la hipotenusa en un triángulo rectángulo es mayor que el lado rectángulo")
9. Vértice ángulos y sus propiedades
10. Rectas paralelas y su determinación y propiedades (interacción Inversa) (la diferencia y conexión entre ambas)
11. Teoremas de uso común: ① Dos rectas paralelas a una línea recta son paralelas (transitivas); ② Dos líneas rectas perpendiculares a una línea recta son paralelas.
12. Definiciones, proposiciones, composición de proposiciones
13. Axiomas, teoremas
14. Proposiciones inversas
2. Triángulo
Clasificación: ⑴ Dividido por lados;
⑵ Dividido por ángulos
1. Definición (incluidos ángulos interiores y exteriores)
2. Triángulo La relación de ángulo lateral: ⑴ Ángulo y ángulo: ① suma de ángulos interiores e inferencia; ② suma de ángulos exteriores de un polígono de n lados; ⑵ Lado a lado: La suma de los dos lados del triángulo es mayor que el tercer lado y la diferencia entre los dos lados es menor que el tercer lado. ⑶Ángulo y lado: en el mismo triángulo,
3. Segmentos de línea principales del triángulo
Discusión: ①Definición de ②Punto de intersección de __ línea - × centro del triángulo ③Propiedades del triángulo
① Línea de altitud ② Línea mediana ③ Bisectriz angular ④ Perpendicular mediana ⑤ Línea mediana
⑴ Triángulo general ⑵ Triángulo especial: triángulo rectángulo, triángulo isósceles, triángulo equilátero
4 Juicio y propiedades de triángulos especiales (triángulo rectángulo, triángulo isósceles, triángulo equilátero, triángulo rectángulo isósceles)
5. Triángulos congruentes
⑴ Los triángulos generales son Juicio congruente (SAS, ASA, AAS). , SSS)
⑵ Juicio de congruencia de triángulos especiales: ① Método general ② Método especial
6. Área del triángulo
⑴ Fórmula de cálculo general ⑵ Propiedades: Los triángulos con bases iguales y alturas iguales tienen áreas iguales.
7. Líneas auxiliares importantes
⑴ Haga coincidir el punto medio con el punto medio para formar la línea mediana ⑵ Duplica la línea media ⑶ Agrega líneas paralelas auxiliares
8
⑴ Método de prueba directa: método integral, método analítico
⑵ Método de prueba indirecta - prueba por contradicción: ① Contrahipótesis ② Reductio ad absurdum ③ Conclusión
⑶ Demuestra que los segmentos de recta son iguales Los ángulos congruentes a menudo se prueban demostrando que los triángulos son congruentes
⑷Demuestra la relación de duplicación de los segmentos de recta: método de duplicación, método de división por la mitad
⑸Demuestra la suma -Relación de diferencia de segmentos de recta: método de continuación, método de truncamiento
⑹ Demuestre la relación de área: exprese el área
3. Cuadrilátero
Tabla de clasificación:
1. Propiedades generales (ángulo)
⑴Suma de ángulos interiores: 360°
⑵Conecta los puntos medios de cada lado en secuencia para obtener un paralelogramo.
Corolario 1: Conecta los puntos medios de los lados de un cuadrilátero con diagonales iguales en secuencia para formar un rombo.
Corolario 2: Un rectángulo se obtiene conectando secuencialmente los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares entre sí.
⑶ Suma de ángulos exteriores: 360°
2. Cuadriláteros especiales
⑴ Método general de estudiarlos:
⑵ Paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado; la definición, propiedades y juicio del trapezoide y trapezoide isósceles
⑶Pasos de juicio: cuadrilátero → paralelogramo → rectángulo → cuadrado
┗→rombo—— ↑
⑷La función de enlace de las diagonales:
3. Figuras simétricas
⑴Axisimétrica (definición y propiedades); ⑵Simetría central (definición y propiedades)
4 Teoremas relevantes: ① Teorema de las rectas paralelas que bisecan los segmentos de recta y sus corolarios 1 y 2
② El teorema de la recta mediana de triángulos y trapecios
③ Entre rectas paralelas La distancia es igual en todas partes. (Por ejemplo, busque triángulos con áreas iguales en la imagen a continuación)
5. Líneas auxiliares importantes: ① a menudo conectan las diagonales de los cuadriláteros; ② en trapecios, a menudo "traducen una cintura", "traducen la diagonal", "Hacer una altura", "Conectar el vértice y el punto medio de la cintura opuesta y extenderlo para que se cruce con la base" conviértelo en un triángulo.
6. Dibujo: cualquier bisectriz.
Resumen de puntos de conocimiento sobre funciones cuadráticas
I. Definición y expresión de definición
Generalmente, existe la siguiente relación entre la variable independiente x y la variable dependiente y: y=ax^2+bx+c
(a, b, c son constantes, a≠0, y a determina la dirección de apertura de la función. Cuando a>0, la dirección de apertura es hacia arriba Cuando a <0, la dirección de apertura es hacia abajo, IaI también puede determinar el tamaño de la abertura, cuanto mayor es IaI, más pequeña es la abertura, cuanto más pequeña es IaI, más grande es la abertura.) Entonces se llama y. una función cuadrática de x.
El lado derecho de la expresión de una función cuadrática suele ser un trinomio cuadrático.
II.Tres expresiones de funciones cuadráticas
Fórmula general: y=ax^2+bx+c (a, b,c son constantes, a≠0)
Fórmula de vértice: y=a(x-h)^2+k [Vértice P(h, k) de la parábola]
Fórmula de intersección: y=a(x-x?)(x-x? ) [ Limitado a parábolas con puntos de intersección A(x?, 0) y B(x?, 0) con el eje x]
Nota: En la conversión mutua de las tres formas, existe la siguiente relación :
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III .La imagen de la función cuadrática
Dibujar la imagen de la función cuadrática y=x^2 en el sistema de coordenadas plano rectangular Se puede observar que la imagen de la función cuadrática es una parábola.
IV. Propiedades de la parábola
1. La parábola es una figura ejesimétrica. El eje de simetría es la recta x = -b/2a.
El único punto de intersección entre el eje de simetría y la parábola es el vértice P de la parábola.
En particular, cuando b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje y (es decir, la recta x=0)
2. La parábola tiene un vértice P con coordenadas: P ( -b/2a, (4ac -b^2)/4a ) Cuando -b/2a=0, P está en el eje y cuando Δ= b^2-4ac=0, P está en el eje x.
3. El término cuadrático coeficiente a determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola.
Cuando a>0, la parábola se abre hacia arriba; cuando a<0, la parábola se abre hacia abajo. Cuanto mayor es |a|, menor es la apertura de la parábola.
4. El coeficiente del término lineal b y el coeficiente del término cuadrático a*** determinan la posición del eje de simetría.
Cuando a y b tienen el mismo signo (es decir, ab>0), el eje de simetría está a la izquierda del eje y
Cuando a y b tienen signos diferentes ( es decir, ab<0), la simetría El eje está a la derecha del eje y.
5. El término constante c determina el punto de intersección de la parábola y el eje y.
La parábola intersecta al eje y en (0, c)
6. El número de intersecciones entre la parábola y el eje x
Δ= b^2-4ac>0 Cuando , la parábola tiene 2 puntos de intersección con el eje x.
Cuando Δ= b^2-4ac=0, la parábola tiene una intersección con el eje x.
Cuando Δ= b^2-4ac<0, la parábola no tiene intersección con el eje x. El valor de la ecuación cuadrática
En particular, la función cuadrática (en lo sucesivo denominada función) y=ax^2+bx+c,
Cuando y=0, la ecuación cuadrática la función es aproximadamente x La ecuación cuadrática (en lo sucesivo, la ecuación), es decir, ax^2+bx+c=0
En este momento, si la gráfica de la función se cruza con el eje x es si la ecuación tiene raíces reales. La abscisa de la intersección de la función y el eje x es la raíz de la ecuación.
1. Función cuadrática y=ax^2, y=a(x-h)^2, y=a(x-h)^2 +k, y=ax^2+bx+c (varias fórmulas, las formas de las imágenes de a≠0) son las mismas, pero las posiciones son diferentes. Sus coordenadas de vértice y ejes de simetría son los siguientes:
Cuando h>0, la imagen de y=a(x-h). )^2 Se puede obtener moviendo h unidades paralelas a la derecha de la parábola y=ax^2
Cuando h<0, se puede obtener moviendo h unidades paralelas a la izquierda
Cuando h >0,k>0, mueve la parábola y=ax^2 paralela a la derecha h unidades, y luego muévela hacia arriba k unidades, puedes obtener la imagen de y=a(x-h)^ 2 +k;
Cuando h>0,k<0, mueva la parábola y=ax^2 paralelamente a la derecha h unidades, y luego muévala hacia abajo |k unidades para obtener y=a( x-h)^2+k La imagen de Imagen de k;
Cuando h<0,k<0, mueva la parábola paralela a la izquierda |h| y luego muévala hacia abajo |k| para obtener y=a(x-h )^2+k;
Por lo tanto, estudia la imagen de la parábola y=ax^2+bx+c(a≠0), y usa la fórmula para convertir la fórmula general en y = a (en la forma x-h) ^ 2 + k, se pueden determinar las coordenadas del vértice y el eje de simetría, y la posición general de la parábola es muy clara, lo que proporciona comodidad para dibujar imágenes. >
2. Parábola y=ax^ La imagen de 2+bx+c(a≠0): cuando a>0, la apertura es hacia arriba, cuando a<0, la apertura es hacia abajo. la recta x=-b/2a, y la coordenada del vértice es (-b/ 2a, [4ac-b^2]/4a
3. Parábola y=ax^2+bx+). c (a≠0), si a>0, cuando x ≤ -b/2a Cuando, y disminuye con el aumento de x cuando x ≥ -b/2a, y aumenta con el aumento de x. cuando x ≤ -b/2a, y aumenta con el aumento de x; cuando x ≥ -b/2a, y disminuye con el aumento de x
4. La imagen de la parábola y=ax^2. +bx+c y el eje de coordenadas Punto de intersección:
(1) La imagen debe intersectarse con el eje y y las coordenadas del punto de intersección son (0, c><); p> (2) Cuando △=b^2-4ac>0, la imagen se cruza con el eje x en dos puntos A(x?, 0) y B(x?, 0), donde x1 y x2 son las cuadráticas ecuación ax^2+bx+c=0
Dos raíces de (a≠0) La distancia entre estos dos puntos AB=|x?-x?| =0. Solo hay un punto de intersección entre la imagen y el eje x;
Cuando △<0, la imagen no tiene intersección con el eje x. Cuando a>0, la imagen cae por encima. el eje x Cuando x es cualquier número real, y>0; cuando a<0, la gráfica cae debajo del eje x, y cuando x es cualquier número real, y<0. > 5. El valor máximo de la parábola y=ax^2+bx+c: si a>0(a< 0), entonces cuando x= -b/2a, el valor mínimo (mayor) de y = (4ac- b^2)/4a.
La abscisa del vértice es la variable independiente al obtener el valor máximo. El valor, la ordenada del vértice, es el valor del valor máximo
<. p> 6. Utilice el método del coeficiente indeterminado para encontrar la fórmula analítica de la función cuadrática(1) Cuando la condición dada en la pregunta es Cuando se sabe que la imagen pasa por tres puntos conocidos o tres pares de valores correspondientes de x e y, la fórmula analítica se puede establecer en la forma general:
y=ax^2+bx+c(a≠0
.(2) Cuando la condición dada en la pregunta son las coordenadas del vértice o el eje de simetría de la imagen conocida, la expresión analítica se puede establecer como la expresión del vértice: y=a(x-h)^2+k(a≠ 0
(3) Cuando la condición dada en la pregunta son las coordenadas de los dos puntos de intersección de la imagen conocida y el eje x, la fórmula analítica se puede establecer como dos fórmulas radicales: y= a(x-x?)(x-x? )(a≠0).
7. Función cuadrática
El conocimiento se combina fácilmente con otros conocimientos para formar preguntas integrales más complejas. Por lo tanto, las preguntas integrales que se centran en el conocimiento de las funciones cuadráticas son temas candentes en el examen de ingreso a la escuela secundaria y, a menudo, aparecen en forma de preguntas importantes
Resumen de los puntos de conocimiento de las funciones cuadráticas
. Concepto de función cuadrática
Generalmente, una función de la forma y=ax?+bx+c (donde a, b, c son constantes, a≠0, b, c puede ser 0) se llama función cuadrática. donde a se llama coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es el término constante. x es la variable independiente y y es la variable dependiente. El grado más alto del argumento en el lado derecho del signo igual es 2. La gráfica de una función cuadrática es una gráfica simétrica de eje.
Nota: "Variable" es diferente de "variable independiente". No se puede decir que "función cuadrática se refiere a una función polinómica cuyo mayor grado de variable es cuadrática". El "número desconocido" es solo un número (el valor específico es desconocido, pero solo toma un valor), y la "variable" puede tomar cualquier valor dentro del rango de números reales. El concepto de "número desconocido" se aplica a las ecuaciones (en ecuaciones funcionales y ecuaciones diferenciales, es una función desconocida, pero ya sea un número desconocido o una función desconocida, generalmente representa un número o una función; también se encontrarán casos especiales ), pero las letras de la función representan una variable y su significado ha cambiado. La diferencia entre los dos también se puede ver en la definición de función, al igual que la relación entre función y función.
Colección completa de fórmulas de funciones cuadráticas
Función cuadrática
I. Definición y expresión de definición
Generalmente, las variables independientes x y There es la siguiente relación entre las variables dependientes y:
y=ax?+bx+c (a, b, c son constantes, a≠0)
Entonces y se llama x función cuadrática.
El lado derecho de la expresión de una función cuadrática suele ser un trinomio cuadrático.
II.Tres expresiones de funciones cuadráticas
Fórmula general: y=ax?;+bx+c(a, b, c son constantes, a≠0)
Fórmula de vértice: y=a(x-h)?;+k [vértice P(h, k) de la parábola]
Fórmula de intersección: y=a(x-x1)(x -x2 ) [Limitado a parábolas con puntos de intersección A(x1, 0) y B(x2, 0) con el eje x]
Nota: En la conversión mutua de las tres formas, existe la siguiente relación :
h=-b/2a k=(4ac-b?;)/4a x1,x2=(-b±√b?;-4ac)/2a
III 2 La gráfica de la función cuadrática
Dibuja la gráfica de la función cuadrática y=x? en el sistema de coordenadas rectangular plano.
Se puede ver que la gráfica de la función cuadrática. la función es una parábola.
IV. Propiedades de la parábola
1. La parábola es una figura ejesimétrica. El eje de simetría es una recta
x = -b/2a.
El único punto de intersección entre el eje de simetría y la parábola es el vértice P de la parábola.
En particular, cuando b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje y (es decir, la recta x=0)
2. La parábola tiene un vértice P con coordenadas
P [ -b/2a , (4ac-b?;)/4a ].
Cuando -b/2a=0, P está en el eje y; cuando Δ= b?-4ac=0, P está en el eje x.
3. El término cuadrático coeficiente a determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola.
Cuando a>0, la parábola se abre hacia arriba; cuando a<0, la parábola se abre hacia abajo.
Cuanto mayor |a|, menor será la apertura de la parábola.
4. El coeficiente del término lineal b y el coeficiente del término cuadrático a*** determinan la posición del eje de simetría.
Cuando a y b tienen el mismo signo (es decir, ab>0), el eje de simetría está a la izquierda del eje y
Cuando a y b tienen signos diferentes ( es decir, ab<0), la simetría El eje está a la derecha del eje y.
5. El término constante c determina el punto de intersección de la parábola y el eje y.
La parábola se cruza con el eje y en (0, c)
6. El número de puntos de intersección entre la parábola y el eje x
Cuando Δ= b?-4ac>0 , la parábola tiene 2 puntos de intersección con el eje x.
Cuando Δ= b?-4ac=0, la parábola tiene una intersección con el eje x.
Cuando Δ= b?-4ac<0, la parábola no tiene intersección con el eje x.
V. Funciones cuadráticas y ecuaciones cuadráticas de una variable
En particular, funciones cuadráticas (en adelante funciones) y=ax?;+bx+c,
Cuando y = 0, la función cuadrática es una ecuación cuadrática de una variable (en lo sucesivo, la ecuación) sobre x,
Es decir, ax?;+bx+c=0
Esto Cuando, no hay intersección entre la gráfica de la función y el eje x, es decir, si la ecuación tiene raíces reales.
La abscisa de la intersección de la función y el eje x es la raíz de la ecuación.
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